{l}{x+y=100}{60x+70y=630} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 60 x + 70 y = 630 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=637$$

$$y=-537$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$x+y=100$$

समीकरण के दोनों ओर से y घटाएं.

$$x=-y+100$$

अन्य समीकरण 60x+70y=630 में -y+100 में से x को घटाएं.

$$60\left(-y+100\right)+70y=630$$

60 को -y+100 बार गुणा करें.

$$-60y+6000+70y=630$$

-60y में 70y को जोड़ें.

$$10y+6000=630$$

समीकरण के दोनों ओर से 6000 घटाएं.

$$10y=-5370$$

दोनों ओर 10 से विभाजन करें.

$$y=-537$$

-537 को x=-y+100 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\left(-537\right)+100$$

-1 को -537 बार गुणा करें.

$$x=537+100$$

100 में 537 को जोड़ें.

$$x=637$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=637,y=-537$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{70-60}&-\frac{1}{70-60}\\-\frac{60}{70-60}&\frac{1}{70-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&-\frac{1}{10}\\-6&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 100-\frac{1}{10}\times 630\\-6\times 100+\frac{1}{10}\times 630\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}637\\-537\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=637,y=-537$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

x और 60x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 60 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 1 से गुणा करें.

$$60x+60y=60\times 100,60x+70y=630$$

सरल बनाएं.

$$60x+60y=6000,60x+70y=630$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 60x+70y=630 में से 60x+60y=6000 को घटाएं.

$$60x-60x+60y-70y=6000-630$$

60x में -60x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 60x और -60x को विभाजित कर दिया गया है.

$$60y-70y=6000-630$$

60y में -70y को जोड़ें.

$$-10y=6000-630$$

6000 में -630 को जोड़ें.

$$-10y=5370$$

दोनों ओर -10 से विभाजन करें.

$$y=-537$$

-537 को 60x+70y=630 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$60x+70\left(-537\right)=630$$

70 को -537 बार गुणा करें.

$$60x-37590=630$$

समीकरण के दोनों ओर 37590 जोड़ें.

$$60x=38220$$

दोनों ओर 60 से विभाजन करें.

$$x=637$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=637,y=-537$$