{l}{b*12x-15y=-4}{16x+10y=7} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { b \cdot 12 x - 15 y = - 4 } \\ { 16 x + 10 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

$$b\neq -2$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$12bx-15y=-4$$

समीकरण के दोनों ओर 15y जोड़ें.

$$12bx=15y-4$$

दोनों ओर 12b से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{12b}\left(15y-4\right)$$

\frac{1}{12b} को 15y-4 बार गुणा करें.

$$x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}$$

अन्य समीकरण 16x+10y=7 में \frac{-4+15y}{12b} में से x को घटाएं.

$$16\left(\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}\right)+10y=7$$

16 को \frac{-4+15y}{12b} बार गुणा करें.

$$\frac{20}{b}y-\frac{16}{3b}+10y=7$$

\frac{20y}{b} में 10y को जोड़ें.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y-\frac{16}{3b}=7$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{16}{3b} जोड़ें.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y=7+\frac{16}{3b}$$

दोनों ओर \frac{20}{b}+10 से विभाजन करें.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

\frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} को x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b} में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=\frac{5}{4b}\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

\frac{5}{4b} को \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} बार गुणा करें.

$$x=\frac{21b+16}{24b\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

-\frac{1}{3b} में \frac{16+21b}{24b\left(2+b\right)} को जोड़ें.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&-\frac{-15}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\\-\frac{16}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&\frac{12b}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}&\frac{1}{8\left(b+2\right)}\\-\frac{2}{15\left(b+2\right)}&\frac{b}{10\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}\left(-4\right)+\frac{1}{8\left(b+2\right)}\times 7\\\left(-\frac{2}{15\left(b+2\right)}\right)\left(-4\right)+\frac{b}{10\left(b+2\right)}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{24\left(b+2\right)}\\\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

12bx और 16x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 16 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 12b से गुणा करें.

$$16\times 12bx+16\left(-15\right)y=16\left(-4\right),12b\times 16x+12b\times 10y=12b\times 7$$

सरल बनाएं.

$$192bx-240y=-64,192bx+120by=84b$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 192bx+120by=84b में से 192bx-240y=-64 को घटाएं.

$$192bx+\left(-192b\right)x-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

192bx में -192bx को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 192bx और -192bx को विभाजित कर दिया गया है.

$$-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

-240y में -120by को जोड़ें.

$$\left(-120b-240\right)y=-64-84b$$

-64 में -84b को जोड़ें.

$$\left(-120b-240\right)y=-84b-64$$

दोनों ओर -240-120b से विभाजन करें.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

\frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} को 16x+10y=7 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$16x+10\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}=7$$

10 को \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} बार गुणा करें.

$$16x+\frac{21b+16}{3\left(b+2\right)}=7$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{16+21b}{3\left(2+b\right)} घटाएं.

$$16x=\frac{26}{3\left(b+2\right)}$$

दोनों ओर 16 से विभाजन करें.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$