{l}{7x+4y=13^12}{5x-2y=19^(11)} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 4 y = 13 ^ { 12 } } \\ { 5 x - 2 y = 19 ^ { ( 11 ) } } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=15075211936407$$

$$y=-20557099608092$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$7x+4y=23298085122481,5x-2y=116490258898219$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$7x+4y=23298085122481$$

समीकरण के दोनों ओर से 4y घटाएं.

$$7x=-4y+23298085122481$$

दोनों ओर 7 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{7}\left(-4y+23298085122481\right)$$

\frac{1}{7} को -4y+23298085122481 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{4}{7}y+\frac{23298085122481}{7}$$

अन्य समीकरण 5x-2y=116490258898219 में \frac{-4y+23298085122481}{7} में से x को घटाएं.

$$5\left(-\frac{4}{7}y+\frac{23298085122481}{7}\right)-2y=116490258898219$$

5 को \frac{-4y+23298085122481}{7} बार गुणा करें.

$$-\frac{20}{7}y+\frac{116490425612405}{7}-2y=116490258898219$$

-\frac{20y}{7} में -2y को जोड़ें.

$$-\frac{34}{7}y+\frac{116490425612405}{7}=116490258898219$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{116490425612405}{7} घटाएं.

$$-\frac{34}{7}y=\frac{698941386675128}{7}$$

समीकरण के दोनों ओर -\frac{34}{7} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$y=-20557099608092$$

-20557099608092 को x=-\frac{4}{7}y+\frac{23298085122481}{7} में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{4}{7}\left(-20557099608092\right)+\frac{23298085122481}{7}$$

-\frac{4}{7} को -20557099608092 बार गुणा करें.

$$x=\frac{82228398432368+23298085122481}{7}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{23298085122481}{7} में \frac{82228398432368}{7} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x=15075211936407$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=15075211936407,y=-20557099608092$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$7x+4y=23298085122481,5x-2y=116490258898219$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}7&4\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23298085122481\\116490258898219\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&4\\5&-2\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&4\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23298085122481\\116490258898219\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23298085122481\\116490258898219\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23298085122481\\116490258898219\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-4\times 5}&-\frac{4}{7\left(-2\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-4\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23298085122481\\116490258898219\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{5}{34}&-\frac{7}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23298085122481\\116490258898219\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 23298085122481+\frac{2}{17}\times 116490258898219\\\frac{5}{34}\times 23298085122481-\frac{7}{34}\times 116490258898219\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15075211936407\\-20557099608092\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=15075211936407,y=-20557099608092$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$7x+4y=23298085122481,5x-2y=116490258898219$$

7x और 5x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 5 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 7 से गुणा करें.

$$5\times 7x+5\times 4y=5\times 23298085122481,7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\times 116490258898219$$

सरल बनाएं.

$$35x+20y=116490425612405,35x-14y=815431812287533$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 35x-14y=815431812287533 में से 35x+20y=116490425612405 को घटाएं.

$$35x-35x+20y+14y=116490425612405-815431812287533$$

35x में -35x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 35x और -35x को विभाजित कर दिया गया है.

$$20y+14y=116490425612405-815431812287533$$

20y में 14y को जोड़ें.

$$34y=116490425612405-815431812287533$$

116490425612405 में -815431812287533 को जोड़ें.

$$34y=-698941386675128$$

दोनों ओर 34 से विभाजन करें.

$$y=-20557099608092$$

-20557099608092 को 5x-2y=116490258898219 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$5x-2\left(-20557099608092\right)=116490258898219$$

-2 को -20557099608092 बार गुणा करें.

$$5x+41114199216184=116490258898219$$

समीकरण के दोनों ओर से 41114199216184 घटाएं.

$$5x=75376059682035$$

दोनों ओर 5 से विभाजन करें.

$$x=15075211936407$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=15075211936407,y=-20557099608092$$