{l}{6x+5y=5600}{55x+46y=51400} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 5600 } \\ { 55 x + 46 y = 51400 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=600$$

$$y=400$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$6x+5y=5600$$

समीकरण के दोनों ओर से 5y घटाएं.

$$6x=-5y+5600$$

दोनों ओर 6 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+5600\right)$$

\frac{1}{6} को -5y+5600 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

अन्य समीकरण 55x+46y=51400 में -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} में से x को घटाएं.

$$55\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+46y=51400$$

55 को -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} बार गुणा करें.

$$-\frac{275}{6}y+\frac{154000}{3}+46y=51400$$

-\frac{275y}{6} में 46y को जोड़ें.

$$\frac{1}{6}y+\frac{154000}{3}=51400$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{154000}{3} घटाएं.

$$\frac{1}{6}y=\frac{200}{3}$$

दोनों ओर 6 से गुणा करें.

$$y=400$$

400 को x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3} में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{5}{6}\times 400+\frac{2800}{3}$$

-\frac{5}{6} को 400 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-1000+2800}{3}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{2800}{3} में -\frac{1000}{3} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x=600$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=600,y=400$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{6\times 46-5\times 55}&-\frac{5}{6\times 46-5\times 55}\\-\frac{55}{6\times 46-5\times 55}&\frac{6}{6\times 46-5\times 55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46&-5\\-55&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\times 5600-5\times 51400\\-55\times 5600+6\times 51400\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}600\\400\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=600,y=400$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

6x और 55x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 55 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 6 से गुणा करें.

$$55\times 6x+55\times 5y=55\times 5600,6\times 55x+6\times 46y=6\times 51400$$

सरल बनाएं.

$$330x+275y=308000,330x+276y=308400$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 330x+276y=308400 में से 330x+275y=308000 को घटाएं.

$$330x-330x+275y-276y=308000-308400$$

330x में -330x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 330x और -330x को विभाजित कर दिया गया है.

$$275y-276y=308000-308400$$

275y में -276y को जोड़ें.

$$-y=308000-308400$$

308000 में -308400 को जोड़ें.

$$-y=-400$$

दोनों ओर -1 से विभाजन करें.

$$y=400$$

400 को 55x+46y=51400 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$55x+46\times 400=51400$$

46 को 400 बार गुणा करें.

$$55x+18400=51400$$

समीकरण के दोनों ओर से 18400 घटाएं.

$$55x=33000$$

दोनों ओर 55 से विभाजन करें.

$$x=600$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=600,y=400$$