{l}{5x+3y=450.000}{3x+4y=413.000} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 450.000 } \\ { 3 x + 4 y = 413.000 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=51$$

$$y=65$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$5x+3y=450$$

समीकरण के दोनों ओर से 3y घटाएं.

$$5x=-3y+450$$

दोनों ओर 5 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+450\right)$$

\frac{1}{5} को -3y+450 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{3}{5}y+90$$

अन्य समीकरण 3x+4y=413 में -\frac{3y}{5}+90 में से x को घटाएं.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+90\right)+4y=413$$

3 को -\frac{3y}{5}+90 बार गुणा करें.

$$-\frac{9}{5}y+270+4y=413$$

-\frac{9y}{5} में 4y को जोड़ें.

$$\frac{11}{5}y+270=413$$

समीकरण के दोनों ओर से 270 घटाएं.

$$\frac{11}{5}y=143$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{11}{5} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$y=65$$

65 को x=-\frac{3}{5}y+90 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{3}{5}\times 65+90$$

-\frac{3}{5} को 65 बार गुणा करें.

$$x=-39+90$$

90 में -39 को जोड़ें.

$$x=51$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=51,y=65$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 450-\frac{3}{11}\times 413\\-\frac{3}{11}\times 450+\frac{5}{11}\times 413\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}51\\65\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=51,y=65$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

5x और 3x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 3 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 5 से गुणा करें.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 450,5\times 3x+5\times 4y=5\times 413$$

सरल बनाएं.

$$15x+9y=1350,15x+20y=2065$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 15x+20y=2065 में से 15x+9y=1350 को घटाएं.

$$15x-15x+9y-20y=1350-2065$$

15x में -15x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 15x और -15x को विभाजित कर दिया गया है.

$$9y-20y=1350-2065$$

9y में -20y को जोड़ें.

$$-11y=1350-2065$$

1350 में -2065 को जोड़ें.

$$-11y=-715$$

दोनों ओर -11 से विभाजन करें.

$$y=65$$

65 को 3x+4y=413 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$3x+4\times 65=413$$

4 को 65 बार गुणा करें.

$$3x+260=413$$

समीकरण के दोनों ओर से 260 घटाएं.

$$3x=153$$

दोनों ओर 3 से विभाजन करें.

$$x=51$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=51,y=65$$