{l}{41x+53y=135}{53x+41y=147} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { 41 x + 53 y = 135 } \\ { 53 x + 41 y = 147 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=2$$

$$y=1$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$41x+53y=135$$

समीकरण के दोनों ओर से 53y घटाएं.

$$41x=-53y+135$$

दोनों ओर 41 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{41}\left(-53y+135\right)$$

\frac{1}{41} को -53y+135 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}$$

अन्य समीकरण 53x+41y=147 में \frac{-53y+135}{41} में से x को घटाएं.

$$53\left(-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}\right)+41y=147$$

53 को \frac{-53y+135}{41} बार गुणा करें.

$$-\frac{2809}{41}y+\frac{7155}{41}+41y=147$$

-\frac{2809y}{41} में 41y को जोड़ें.

$$-\frac{1128}{41}y+\frac{7155}{41}=147$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{7155}{41} घटाएं.

$$-\frac{1128}{41}y=-\frac{1128}{41}$$

समीकरण के दोनों ओर -\frac{1128}{41} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$y=1$$

1 को x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41} में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=\frac{-53+135}{41}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{135}{41} में -\frac{53}{41} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x=2$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=2,y=1$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स के लिए \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), प्रतिलोम मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है, ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{41\times 41-53\times 53}&-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}\\-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}&\frac{41}{41\times 41-53\times 53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}&\frac{53}{1128}\\\frac{53}{1128}&-\frac{41}{1128}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}\times 135+\frac{53}{1128}\times 147\\\frac{53}{1128}\times 135-\frac{41}{1128}\times 147\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=2,y=1$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

41x और 53x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 53 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 41 से गुणा करें.

$$53\times 41x+53\times 53y=53\times 135,41\times 53x+41\times 41y=41\times 147$$

सरल बनाएं.

$$2173x+2809y=7155,2173x+1681y=6027$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 2173x+1681y=6027 में से 2173x+2809y=7155 को घटाएं.

$$2173x-2173x+2809y-1681y=7155-6027$$

2173x में -2173x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 2173x और -2173x को विभाजित कर दिया गया है.

$$2809y-1681y=7155-6027$$

2809y में -1681y को जोड़ें.

$$1128y=7155-6027$$

7155 में -6027 को जोड़ें.

$$1128y=1128$$

दोनों ओर 1128 से विभाजन करें.

$$y=1$$

1 को 53x+41y=147 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$53x+41=147$$

समीकरण के दोनों ओर से 41 घटाएं.

$$53x=106$$

दोनों ओर 53 से विभाजन करें.

$$x=2$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=2,y=1$$