{l}{40x+30y=500}{60x+15y=600} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 600 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x = \frac{35}{4} = 8\frac{3}{4} = 8.75$$

$$y=5$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$40x+30y=500$$

समीकरण के दोनों ओर से 30y घटाएं.

$$40x=-30y+500$$

दोनों ओर 40 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

\frac{1}{40} को -30y+500 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

अन्य समीकरण 60x+15y=600 में -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} में से x को घटाएं.

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=600$$

60 को -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} बार गुणा करें.

$$-45y+750+15y=600$$

-45y में 15y को जोड़ें.

$$-30y+750=600$$

समीकरण के दोनों ओर से 750 घटाएं.

$$-30y=-150$$

दोनों ओर -30 से विभाजन करें.

$$y=5$$

5 को x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2} में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{3}{4}\times 5+\frac{25}{2}$$

-\frac{3}{4} को 5 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{15}{4}+\frac{25}{2}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{25}{2} में -\frac{15}{4} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x=\frac{35}{4}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 600\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 600\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{4}\\5\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

40x और 60x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 60 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 40 से गुणा करें.

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 600$$

सरल बनाएं.

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=24000$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 2400x+600y=24000 में से 2400x+1800y=30000 को घटाएं.

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-24000$$

2400x में -2400x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 2400x और -2400x को विभाजित कर दिया गया है.

$$1800y-600y=30000-24000$$

1800y में -600y को जोड़ें.

$$1200y=30000-24000$$

30000 में -24000 को जोड़ें.

$$1200y=6000$$

दोनों ओर 1200 से विभाजन करें.

$$y=5$$

5 को 60x+15y=600 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$60x+15\times 5=600$$

15 को 5 बार गुणा करें.

$$60x+75=600$$

समीकरण के दोनों ओर से 75 घटाएं.

$$60x=525$$

दोनों ओर 60 से विभाजन करें.

$$x=\frac{35}{4}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$