{l}{300=40k+b}{150=55k+b} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { 300 = 40 k + b } \\ { 150 = 55 k + b } \end{array} \right.$$

k, b के लिए हल करें

$$k=-10$$

$$b=700$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$40k+b=300$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$55k+b=150$$

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$40k+b=300,55k+b=150$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर k से पृथक् करके k से हल करें.

$$40k+b=300$$

समीकरण के दोनों ओर से b घटाएं.

$$40k=-b+300$$

दोनों ओर 40 से विभाजन करें.

$$k=\frac{1}{40}\left(-b+300\right)$$

\frac{1}{40} को -b+300 बार गुणा करें.

$$k=-\frac{1}{40}b+\frac{15}{2}$$

अन्य समीकरण 55k+b=150 में -\frac{b}{40}+\frac{15}{2} में से k को घटाएं.

$$55\left(-\frac{1}{40}b+\frac{15}{2}\right)+b=150$$

55 को -\frac{b}{40}+\frac{15}{2} बार गुणा करें.

$$-\frac{11}{8}b+\frac{825}{2}+b=150$$

-\frac{11b}{8} में b को जोड़ें.

$$-\frac{3}{8}b+\frac{825}{2}=150$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{825}{2} घटाएं.

$$-\frac{3}{8}b=-\frac{525}{2}$$

समीकरण के दोनों ओर -\frac{3}{8} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$b=700$$

700 को k=-\frac{1}{40}b+\frac{15}{2} में b के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे k के लिए हल कर सकते हैं.

$$k=-\frac{1}{40}\times 700+\frac{15}{2}$$

-\frac{1}{40} को 700 बार गुणा करें.

$$k=\frac{-35+15}{2}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{15}{2} में -\frac{35}{2} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$k=-10$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$k=-10,b=700$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$40k+b=300$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$55k+b=150$$

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$40k+b=300,55k+b=150$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}40&1\\55&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\150\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}40&1\\55&1\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&1\\55&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&1\\55&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&1\\55&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\150\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&1\\55&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\150\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&1\\55&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\150\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40-55}&-\frac{1}{40-55}\\-\frac{55}{40-55}&\frac{40}{40-55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\150\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{1}{15}\\\frac{11}{3}&-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\150\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 300+\frac{1}{15}\times 150\\\frac{11}{3}\times 300-\frac{8}{3}\times 150\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\700\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों k और b को निकालना.

$$k=-10,b=700$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$40k+b=300$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$55k+b=150$$

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$40k+b=300,55k+b=150$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 55k+b=150 में से 40k+b=300 को घटाएं.

$$40k-55k+b-b=300-150$$

b में -b को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद b और -b को विभाजित कर दिया गया है.

$$40k-55k=300-150$$

40k में -55k को जोड़ें.

$$-15k=300-150$$

300 में -150 को जोड़ें.

$$-15k=150$$

दोनों ओर -15 से विभाजन करें.

$$k=-10$$

-10 को 55k+b=150 में k के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे b के लिए हल कर सकते हैं.

$$55\left(-10\right)+b=150$$

55 को -10 बार गुणा करें.

$$-550+b=150$$

समीकरण के दोनों ओर 550 जोड़ें.

$$b=700$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$k=-10,b=700$$