{l}{25c+22T=152000}{11c+12T=75000} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { 25 c + 22 T = 152000 } \\ { 11 c + 12 T = 75000 } \end{array} \right.$$

c, T के लिए हल करें

$$c=3000$$

$$T=3500$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर c से पृथक् करके c से हल करें.

$$25c+22T=152000$$

समीकरण के दोनों ओर से 22T घटाएं.

$$25c=-22T+152000$$

दोनों ओर 25 से विभाजन करें.

$$c=\frac{1}{25}\left(-22T+152000\right)$$

\frac{1}{25} को -22T+152000 बार गुणा करें.

$$c=-\frac{22}{25}T+6080$$

अन्य समीकरण 11c+12T=75000 में -\frac{22T}{25}+6080 में से c को घटाएं.

$$11\left(-\frac{22}{25}T+6080\right)+12T=75000$$

11 को -\frac{22T}{25}+6080 बार गुणा करें.

$$-\frac{242}{25}T+66880+12T=75000$$

-\frac{242T}{25} में 12T को जोड़ें.

$$\frac{58}{25}T+66880=75000$$

समीकरण के दोनों ओर से 66880 घटाएं.

$$\frac{58}{25}T=8120$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{58}{25} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$T=3500$$

3500 को c=-\frac{22}{25}T+6080 में T के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे c के लिए हल कर सकते हैं.

$$c=-\frac{22}{25}\times 3500+6080$$

-\frac{22}{25} को 3500 बार गुणा करें.

$$c=-3080+6080$$

6080 में -3080 को जोड़ें.

$$c=3000$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$c=3000,T=3500$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{25\times 12-22\times 11}&-\frac{22}{25\times 12-22\times 11}\\-\frac{11}{25\times 12-22\times 11}&\frac{25}{25\times 12-22\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}&-\frac{11}{29}\\-\frac{11}{58}&\frac{25}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}\times 152000-\frac{11}{29}\times 75000\\-\frac{11}{58}\times 152000+\frac{25}{58}\times 75000\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3000\\3500\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों c और T को निकालना.

$$c=3000,T=3500$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

25c और 11c को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 11 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 25 से गुणा करें.

$$11\times 25c+11\times 22T=11\times 152000,25\times 11c+25\times 12T=25\times 75000$$

सरल बनाएं.

$$275c+242T=1672000,275c+300T=1875000$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 275c+300T=1875000 में से 275c+242T=1672000 को घटाएं.

$$275c-275c+242T-300T=1672000-1875000$$

275c में -275c को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 275c और -275c को विभाजित कर दिया गया है.

$$242T-300T=1672000-1875000$$

242T में -300T को जोड़ें.

$$-58T=1672000-1875000$$

1672000 में -1875000 को जोड़ें.

$$-58T=-203000$$

दोनों ओर -58 से विभाजन करें.

$$T=3500$$

3500 को 11c+12T=75000 में T के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे c के लिए हल कर सकते हैं.

$$11c+12\times 3500=75000$$

12 को 3500 बार गुणा करें.

$$11c+42000=75000$$

समीकरण के दोनों ओर से 42000 घटाएं.

$$11c=33000$$

दोनों ओर 11 से विभाजन करें.

$$c=3000$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$c=3000,T=3500$$