{l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$2x+5y=259$$

समीकरण के दोनों ओर से 5y घटाएं.

$$2x=-5y+259$$

दोनों ओर 2 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

\frac{1}{2} को -5y+259 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

अन्य समीकरण 199x-2y=1127 में \frac{-5y+259}{2} में से x को घटाएं.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

199 को \frac{-5y+259}{2} बार गुणा करें.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

-\frac{995y}{2} में -2y को जोड़ें.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{51541}{2} घटाएं.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

समीकरण के दोनों ओर -\frac{999}{2} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$y=\frac{16429}{333}$$

\frac{16429}{333} को x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2} में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

अंश के बार अंश से और हर के बराबर हर से गुणा करके -\frac{5}{2} का \frac{16429}{333} बार गुणा करें. फिर यदि संभव हो तो भिन्न को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{259}{2} में -\frac{82145}{666} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x=\frac{2051}{333}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

2x और 199x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 199 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 2 से गुणा करें.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

सरल बनाएं.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 398x-4y=2254 में से 398x+995y=51541 को घटाएं.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

398x में -398x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 398x और -398x को विभाजित कर दिया गया है.

$$995y+4y=51541-2254$$

995y में 4y को जोड़ें.

$$999y=51541-2254$$

51541 में -2254 को जोड़ें.

$$999y=49287$$

दोनों ओर 999 से विभाजन करें.

$$y=\frac{16429}{333}$$

\frac{16429}{333} को 199x-2y=1127 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

-2 को \frac{16429}{333} बार गुणा करें.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{32858}{333} जोड़ें.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

दोनों ओर 199 से विभाजन करें.

$$x=\frac{2051}{333}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$