{l}{18=1200x+1600y}{17=600x+2400y} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { 18 = 1200 x + 1600 y } \\ { 17 = 600 x + 2400 y } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=\frac{1}{120}\approx 0.008333333$$

$$y=\frac{1}{200}=0.005$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$1200x+1600y=18$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$600x+2400y=17$$

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$1200x+1600y=18$$

समीकरण के दोनों ओर से 1600y घटाएं.

$$1200x=-1600y+18$$

दोनों ओर 1200 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{1200}\left(-1600y+18\right)$$

\frac{1}{1200} को -1600y+18 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}$$

अन्य समीकरण 600x+2400y=17 में -\frac{4y}{3}+\frac{3}{200} में से x को घटाएं.

$$600\left(-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}\right)+2400y=17$$

600 को -\frac{4y}{3}+\frac{3}{200} बार गुणा करें.

$$-800y+9+2400y=17$$

-800y में 2400y को जोड़ें.

$$1600y+9=17$$

समीकरण के दोनों ओर से 9 घटाएं.

$$1600y=8$$

दोनों ओर 1600 से विभाजन करें.

$$y=\frac{1}{200}$$

\frac{1}{200} को x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200} में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{1}{200}+\frac{3}{200}$$

अंश के बार अंश से और हर के बराबर हर से गुणा करके -\frac{4}{3} का \frac{1}{200} बार गुणा करें. फिर यदि संभव हो तो भिन्न को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=-\frac{1}{150}+\frac{3}{200}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{3}{200} में -\frac{1}{150} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x=\frac{1}{120}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$1200x+1600y=18$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$600x+2400y=17$$

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2400}{1200\times 2400-1600\times 600}&-\frac{1600}{1200\times 2400-1600\times 600}\\-\frac{600}{1200\times 2400-1600\times 600}&\frac{1200}{1200\times 2400-1600\times 600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}&-\frac{1}{1200}\\-\frac{1}{3200}&\frac{1}{1600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}\times 18-\frac{1}{1200}\times 17\\-\frac{1}{3200}\times 18+\frac{1}{1600}\times 17\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{120}\\\frac{1}{200}\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$1200x+1600y=18$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$600x+2400y=17$$

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

1200x और 600x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 600 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 1200 से गुणा करें.

$$600\times 1200x+600\times 1600y=600\times 18,1200\times 600x+1200\times 2400y=1200\times 17$$

सरल बनाएं.

$$720000x+960000y=10800,720000x+2880000y=20400$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 720000x+2880000y=20400 में से 720000x+960000y=10800 को घटाएं.

$$720000x-720000x+960000y-2880000y=10800-20400$$

720000x में -720000x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 720000x और -720000x को विभाजित कर दिया गया है.

$$960000y-2880000y=10800-20400$$

960000y में -2880000y को जोड़ें.

$$-1920000y=10800-20400$$

10800 में -20400 को जोड़ें.

$$-1920000y=-9600$$

दोनों ओर -1920000 से विभाजन करें.

$$y=\frac{1}{200}$$

\frac{1}{200} को 600x+2400y=17 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$600x+2400\times \frac{1}{200}=17$$

2400 को \frac{1}{200} बार गुणा करें.

$$600x+12=17$$

समीकरण के दोनों ओर से 12 घटाएं.

$$600x=5$$

दोनों ओर 600 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{120}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$