{l}{15x+107y=1}{71x+179y=-287} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 107 y = 1 } \\ { 71 x + 179 y = - 287 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x = -\frac{3861}{614} = -6\frac{177}{614} \approx -6.288273616$$

$$y=\frac{547}{614}\approx 0.890879479$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$15x+107y=1$$

समीकरण के दोनों ओर से 107y घटाएं.

$$15x=-107y+1$$

दोनों ओर 15 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{15}\left(-107y+1\right)$$

\frac{1}{15} को -107y+1 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}$$

अन्य समीकरण 71x+179y=-287 में \frac{-107y+1}{15} में से x को घटाएं.

$$71\left(-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}\right)+179y=-287$$

71 को \frac{-107y+1}{15} बार गुणा करें.

$$-\frac{7597}{15}y+\frac{71}{15}+179y=-287$$

-\frac{7597y}{15} में 179y को जोड़ें.

$$-\frac{4912}{15}y+\frac{71}{15}=-287$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{71}{15} घटाएं.

$$-\frac{4912}{15}y=-\frac{4376}{15}$$

समीकरण के दोनों ओर -\frac{4912}{15} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$y=\frac{547}{614}$$

\frac{547}{614} को x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15} में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{107}{15}\times \frac{547}{614}+\frac{1}{15}$$

अंश के बार अंश से और हर के बराबर हर से गुणा करके -\frac{107}{15} का \frac{547}{614} बार गुणा करें. फिर यदि संभव हो तो भिन्न को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=-\frac{58529}{9210}+\frac{1}{15}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{1}{15} में -\frac{58529}{9210} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स के लिए \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), प्रतिलोम मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है, ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{179}{15\times 179-107\times 71}&-\frac{107}{15\times 179-107\times 71}\\-\frac{71}{15\times 179-107\times 71}&\frac{15}{15\times 179-107\times 71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}&\frac{107}{4912}\\\frac{71}{4912}&-\frac{15}{4912}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}+\frac{107}{4912}\left(-287\right)\\\frac{71}{4912}-\frac{15}{4912}\left(-287\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3861}{614}\\\frac{547}{614}\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

15x और 71x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 71 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 15 से गुणा करें.

$$71\times 15x+71\times 107y=71,15\times 71x+15\times 179y=15\left(-287\right)$$

सरल बनाएं.

$$1065x+7597y=71,1065x+2685y=-4305$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 1065x+2685y=-4305 में से 1065x+7597y=71 को घटाएं.

$$1065x-1065x+7597y-2685y=71+4305$$

1065x में -1065x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 1065x और -1065x को विभाजित कर दिया गया है.

$$7597y-2685y=71+4305$$

7597y में -2685y को जोड़ें.

$$4912y=71+4305$$

71 में 4305 को जोड़ें.

$$4912y=4376$$

दोनों ओर 4912 से विभाजन करें.

$$y=\frac{547}{614}$$

\frac{547}{614} को 71x+179y=-287 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$71x+179\times \frac{547}{614}=-287$$

179 को \frac{547}{614} बार गुणा करें.

$$71x+\frac{97913}{614}=-287$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{97913}{614} घटाएं.

$$71x=-\frac{274131}{614}$$

दोनों ओर 71 से विभाजन करें.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$