{l}{0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9}{0.041x_{2}-0.002x_{3}=0.117} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { 0.041 x _ { 3 } + 0.16 x _ { 2 } = 0.9 } \\ { 0.041 x _ { 2 } - 0.002 x _ { 3 } = 0.117 } \end{array} \right.$$

x_3, x_2 के लिए हल करें

$$x_{3} = \frac{6060}{667} = 9\frac{57}{667} \approx 9.085457271$$

$$x_{2} = \frac{2199}{667} = 3\frac{198}{667} \approx 3.296851574$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x_{3} से पृथक् करके x_{3} से हल करें.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{4x_{2}}{25} घटाएं.

$$0.041x_{3}=-0.16x_{2}+0.9$$

समीकरण के दोनों ओर 0.041 से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$x_{3}=\frac{1000}{41}\left(-0.16x_{2}+0.9\right)$$

\frac{1000}{41} को -\frac{4x_{2}}{25}+0.9 बार गुणा करें.

$$x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}$$

अन्य समीकरण -0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117 में \frac{-160x_{2}+900}{41} में से x_{3} को घटाएं.

$$-0.002\left(-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}\right)+0.041x_{2}=0.117$$

-0.002 को \frac{-160x_{2}+900}{41} बार गुणा करें.

$$\frac{8}{1025}x_{2}-\frac{9}{205}+0.041x_{2}=0.117$$

\frac{8x_{2}}{1025} में \frac{41x_{2}}{1000} को जोड़ें.

$$\frac{2001}{41000}x_{2}-\frac{9}{205}=0.117$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{9}{205} जोड़ें.

$$\frac{2001}{41000}x_{2}=\frac{6597}{41000}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{2001}{41000} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

\frac{2199}{667} को x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41} में x_{2} के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x_{3} के लिए हल कर सकते हैं.

$$x_{3}=-\frac{160}{41}\times \frac{2199}{667}+\frac{900}{41}$$

अंश के बार अंश से और हर के बराबर हर से गुणा करके -\frac{160}{41} का \frac{2199}{667} बार गुणा करें. फिर यदि संभव हो तो भिन्न को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x_{3}=-\frac{351840}{27347}+\frac{900}{41}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{900}{41} में -\frac{351840}{27347} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&-\frac{0.16}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\\-\frac{-0.002}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}&-\frac{160000}{2001}\\\frac{2000}{2001}&\frac{41000}{2001}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}\times 0.9-\frac{160000}{2001}\times 0.117\\\frac{2000}{2001}\times 0.9+\frac{41000}{2001}\times 0.117\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6060}{667}\\\frac{2199}{667}\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x_{3} और x_{2} को निकालना.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

\frac{41x_{3}}{1000} और -\frac{x_{3}}{500} को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को -0.002 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 0.041 से गुणा करें.

$$-0.002\times 0.041x_{3}-0.002\times 0.16x_{2}=-0.002\times 0.9,0.041\left(-0.002\right)x_{3}+0.041\times 0.041x_{2}=0.041\times 0.117$$

सरल बनाएं.

$$-0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018,-0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर -0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797 में से -0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018 को घटाएं.

$$-0.000082x_{3}+0.000082x_{3}-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

-\frac{41x_{3}}{500000} में \frac{41x_{3}}{500000} को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद -\frac{41x_{3}}{500000} और \frac{41x_{3}}{500000} को विभाजित कर दिया गया है.

$$-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

-\frac{x_{2}}{3125} में -\frac{1681x_{2}}{1000000} को जोड़ें.

$$-0.002001x_{2}=-0.0018-0.004797$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर -0.0018 में -0.004797 जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$-0.002001x_{2}=-0.006597$$

समीकरण के दोनों ओर -0.002001 से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

\frac{2199}{667} को -0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117 में x_{2} के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x_{3} के लिए हल कर सकते हैं.

$$-0.002x_{3}+0.041\times \frac{2199}{667}=0.117$$

अंश के बार अंश से और हर के बराबर हर से गुणा करके 0.041 का \frac{2199}{667} बार गुणा करें. फिर यदि संभव हो तो भिन्न को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$-0.002x_{3}+\frac{90159}{667000}=0.117$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{90159}{667000} घटाएं.

$$-0.002x_{3}=-\frac{303}{16675}$$

दोनों ओर -500 से गुणा करें.

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$