{l}{-6x^2-x}{+2leq0} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x ^ { 2 } - x } \\ { + 2 \leq 0 } \end{array} \right.$$

x के लिए हल करें

$$x\in (-\infty,-\frac{2}{3}]\cup [\frac{1}{2},\infty)$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

असमानता की -1 से गुणा करें जिससे -6x^{2}-x+2 में उच्चतम घात के गुणांक को धनात्मक बनाया जा सके. चूँकि -1 ऋणात्मक है, इसलिए असमानता की दिशा परिवर्तित की गई है.

$$6x^{2}+x-2\geq 0$$

असमानता हल करने के लिए, बाएँ हाथ तरफ फ़ैक्टर करें. ट्रांसफॉर्मेशन ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) का उपयोग करके द्विघात बहुपद को भाजित किया जा सकता है, जहाँ x_{1} और x_{2} द्विघात समीकरण ax^{2}+bx+c=0 का हल है.

$$6x^{2}+x-2=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 6, b के लिए 1, और c के लिए -2 प्रतिस्थापित करें.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 6\left(-2\right)}}{2\times 6}$$

परिकलन करें.

$$x=\frac{-1±7}{12}$$

समीकरण x=\frac{-1±7}{12} को हल करें जब ± धन है और जब ± ऋण है.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$

प्राप्त हल का उपयोग करके असमानता को फिर से लिखें.

$$6\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)\geq 0$$

गुणनफल को ≥0 होने के लिए, x-\frac{1}{2} और x+\frac{2}{3} दोनों को ≤0 या दोनों ≥0 होना चाहिए. x-\frac{1}{2} और x+\frac{2}{3} दोनों ≤0 हो तब केस पर विचार करें.

$$x-\frac{1}{2}\leq 0 x+\frac{2}{3}\leq 0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल x\leq -\frac{2}{3} है.

$$x\leq -\frac{2}{3}$$

जब x-\frac{1}{2} और x+\frac{2}{3} दोनों ≥0 हो, तो केस पर विचार करें.

$$x+\frac{2}{3}\geq 0 x-\frac{1}{2}\geq 0$$

दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाला हल x\geq \frac{1}{2} है.

$$x\geq \frac{1}{2}$$

प्राप्त किए गए समाधानों का अंतिम हल संघ है.

$$x\leq -\frac{2}{3}\text{; }x\geq \frac{1}{2}$$