{l}{-10x+20y=460}{30x+60y=1620} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 20 y = 460 } \\ { 30 x + 60 y = 1620 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=4$$

$$y=25$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$-10x+20y=460$$

समीकरण के दोनों ओर से 20y घटाएं.

$$-10x=-20y+460$$

दोनों ओर -10 से विभाजन करें.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-20y+460\right)$$

-\frac{1}{10} को -20y+460 बार गुणा करें.

$$x=2y-46$$

अन्य समीकरण 30x+60y=1620 में -46+2y में से x को घटाएं.

$$30\left(2y-46\right)+60y=1620$$

30 को -46+2y बार गुणा करें.

$$60y-1380+60y=1620$$

60y में 60y को जोड़ें.

$$120y-1380=1620$$

समीकरण के दोनों ओर 1380 जोड़ें.

$$120y=3000$$

दोनों ओर 120 से विभाजन करें.

$$y=25$$

25 को x=2y-46 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=2\times 25-46$$

2 को 25 बार गुणा करें.

$$x=50-46$$

-46 में 50 को जोड़ें.

$$x=4$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=4,y=25$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{20}{-10\times 60-20\times 30}\\-\frac{30}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{10}{-10\times 60-20\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{1}{60}\\\frac{1}{40}&\frac{1}{120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 460+\frac{1}{60}\times 1620\\\frac{1}{40}\times 460+\frac{1}{120}\times 1620\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\25\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=4,y=25$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

-10x और 30x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 30 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को -10 से गुणा करें.

$$30\left(-10\right)x+30\times 20y=30\times 460,-10\times 30x-10\times 60y=-10\times 1620$$

सरल बनाएं.

$$-300x+600y=13800,-300x-600y=-16200$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर -300x-600y=-16200 में से -300x+600y=13800 को घटाएं.

$$-300x+300x+600y+600y=13800+16200$$

-300x में 300x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद -300x और 300x को विभाजित कर दिया गया है.

$$600y+600y=13800+16200$$

600y में 600y को जोड़ें.

$$1200y=13800+16200$$

13800 में 16200 को जोड़ें.

$$1200y=30000$$

दोनों ओर 1200 से विभाजन करें.

$$y=25$$

25 को 30x+60y=1620 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$30x+60\times 25=1620$$

60 को 25 बार गुणा करें.

$$30x+1500=1620$$

समीकरण के दोनों ओर से 1500 घटाएं.

$$30x=120$$

दोनों ओर 30 से विभाजन करें.

$$x=4$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=4,y=25$$