{l}{x/36-y=21}{x-y/20=16} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 36 } - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x = \frac{10764}{719} = 14\frac{698}{719} \approx 14.970792768$$

$$y = -\frac{14800}{719} = -20\frac{420}{719} \approx -20.584144645$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों को 36 से गुणा करें.

$$x-36y=756$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों को 20 से गुणा करें.

$$20x-y=320$$

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$x-36y=756$$

समीकरण के दोनों ओर 36y जोड़ें.

$$x=36y+756$$

अन्य समीकरण 20x-y=320 में 756+36y में से x को घटाएं.

$$20\left(36y+756\right)-y=320$$

20 को 756+36y बार गुणा करें.

$$720y+15120-y=320$$

720y में -y को जोड़ें.

$$719y+15120=320$$

समीकरण के दोनों ओर से 15120 घटाएं.

$$719y=-14800$$

दोनों ओर 719 से विभाजन करें.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

-\frac{14800}{719} को x=36y+756 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=36\left(-\frac{14800}{719}\right)+756$$

36 को -\frac{14800}{719} बार गुणा करें.

$$x=-\frac{532800}{719}+756$$

756 में -\frac{532800}{719} को जोड़ें.

$$x=\frac{10764}{719}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों को 36 से गुणा करें.

$$x-36y=756$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों को 20 से गुणा करें.

$$20x-y=320$$

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}&-\frac{-36}{-1-\left(-36\times 20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-36\times 20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}&\frac{36}{719}\\-\frac{20}{719}&\frac{1}{719}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}\times 756+\frac{36}{719}\times 320\\-\frac{20}{719}\times 756+\frac{1}{719}\times 320\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10764}{719}\\-\frac{14800}{719}\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों को 36 से गुणा करें.

$$x-36y=756$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों को 20 से गुणा करें.

$$20x-y=320$$

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

x और 20x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 20 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 1 से गुणा करें.

$$20x+20\left(-36\right)y=20\times 756,20x-y=320$$

सरल बनाएं.

$$20x-720y=15120,20x-y=320$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 20x-y=320 में से 20x-720y=15120 को घटाएं.

$$20x-20x-720y+y=15120-320$$

20x में -20x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 20x और -20x को विभाजित कर दिया गया है.

$$-720y+y=15120-320$$

-720y में y को जोड़ें.

$$-719y=15120-320$$

15120 में -320 को जोड़ें.

$$-719y=14800$$

दोनों ओर -719 से विभाजन करें.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

-\frac{14800}{719} को 20x-y=320 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$20x-\left(-\frac{14800}{719}\right)=320$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{14800}{719} घटाएं.

$$20x=\frac{215280}{719}$$

दोनों ओर 20 से विभाजन करें.

$$x=\frac{10764}{719}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$