{l}{x^2/9+y^2/4=1}{3x+4y=1} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=\frac{63}{29}\approx 2.172413793\text{, }y=-\frac{40}{29}\approx -1.379310345$$

$$x=-\frac{9}{5}=-1.8\text{, }y=\frac{8}{5}=1.6$$

स्थानापन्न और द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों ओर 36 से गुणा करें, जो कि 9,4 का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$4x^{2}+9y^{2}=36$$

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$3x+4y=1,9y^{2}+4x^{2}=36$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ ओर x को पृथक् करके x के लिए 3x+4y=1 को हल करें.

$$3x+4y=1$$

समीकरण के दोनों ओर से 4y घटाएं.

$$3x=-4y+1$$

दोनों ओर 3 से विभाजन करें.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

अन्य समीकरण 9y^{2}+4x^{2}=36 में -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} में से x को घटाएं.

$$9y^{2}+4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)^{2}=36$$

वर्गमूल -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}.

$$9y^{2}+4\left(\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)=36$$

4 को \frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9} बार गुणा करें.

$$9y^{2}+\frac{64}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

9y^{2} में \frac{64}{9}y^{2} को जोड़ें.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

समीकरण के दोनों ओर से 36 घटाएं.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y-\frac{320}{9}=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}, b के लिए 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 और द्विघात सूत्र में c के लिए -\frac{320}{9}, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{9}\right)^{2}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

वर्गमूल 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

-4 को 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} बार गुणा करें.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-\frac{580}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

अंश के बार अंश से और हर के बराबर हर से गुणा करके -\frac{580}{9} का -\frac{320}{9} बार गुणा करें. फिर यदि संभव हो तो भिन्न को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024+185600}{81}}}{2\times \frac{145}{9}}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{1024}{81} में \frac{185600}{81} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{2304}}{2\times \frac{145}{9}}$$

2304 का वर्गमूल लें.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 का विपरीत \frac{32}{9} है.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

2 को 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} बार गुणा करें.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} को हल करें. \frac{32}{9} में 48 को जोड़ें.

$$y=\frac{\frac{464}{9}}{\frac{290}{9}}$$

\frac{290}{9} के व्युत्क्रम से \frac{464}{9} का गुणा करके \frac{290}{9} को \frac{464}{9} से विभाजित करें.

$$y=\frac{8}{5}$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} को हल करें. \frac{32}{9} में से 48 को घटाएं.

$$y=-\frac{\frac{400}{9}}{\frac{290}{9}}$$

\frac{290}{9} के व्युत्क्रम से -\frac{400}{9} का गुणा करके \frac{290}{9} को -\frac{400}{9} से विभाजित करें.

$$y=-\frac{40}{29}$$

y के लिए दोनों हल समान हैं: \frac{8}{5} और -\frac{40}{29}. x के लिए संगत हल ढूंढने के लिए समीकरण x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} में y से \frac{8}{5} को घटाएं, जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+\frac{1}{3}$$

अंश के बार अंश से और हर के बराबर हर से गुणा करके -\frac{4}{3} का \frac{8}{5} बार गुणा करें. फिर यदि संभव हो तो भिन्न को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=-\frac{32}{15}+\frac{1}{3}$$

-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5} में \frac{1}{3} को जोड़ें.

$$x=-\frac{9}{5}$$

अब x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} समीकरण में -\frac{40}{29} में से y को घटाएं और x के लिए संगत हल ढूंढने के लिए हल करें जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता हो.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{40}{29}\right)+\frac{1}{3}$$

अंश के बार अंश से और हर के बराबर हर से गुणा करके -\frac{4}{3} का -\frac{40}{29} बार गुणा करें. फिर यदि संभव हो तो भिन्न को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=\frac{160}{87}+\frac{1}{3}$$

-\frac{40}{29}\left(-\frac{4}{3}\right) में \frac{1}{3} को जोड़ें.

$$x=\frac{63}{29}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=-\frac{9}{5},y=\frac{8}{5}\text{ or }x=\frac{63}{29},y=-\frac{40}{29}$$