{l}{x^2/4+y^2=1}{y=frac{sqrt{2}}{4}x} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 } \\ { y = \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } x } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=-\frac{2\sqrt{6}}{3}\approx -1.632993162\text{, }y=-\frac{\sqrt{3}}{3}\approx -0.577350269$$

$$x=\frac{2\sqrt{6}}{3}\approx 1.632993162\text{, }y=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0.577350269$$

स्थानापन्न और द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों को 4 से गुणा करें.

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. \frac{\sqrt{2}}{4}x को एकल भिन्न के रूप में व्यक्त करें.

$$y=\frac{\sqrt{2}x}{4}$$

दोनों ओर से \frac{\sqrt{2}x}{4} घटाएँ.

$$y-\frac{\sqrt{2}x}{4}=0$$

समीकरण के दोनों को 4 से गुणा करें.

$$4y-\sqrt{2}x=0$$

पदों को पुनः क्रमित करें.

$$-\sqrt{2}x+4y=0$$

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$\left(-\sqrt{2}\right)x+4y=0,4y^{2}+x^{2}=4$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ ओर x को पृथक् करके x के लिए \left(-\sqrt{2}\right)x+4y=0 को हल करें.

$$\left(-\sqrt{2}\right)x+4y=0$$

समीकरण के दोनों ओर से 4y घटाएं.

$$\left(-\sqrt{2}\right)x=-4y$$

दोनों ओर -\sqrt{2} से विभाजन करें.

$$x=2\sqrt{2}y$$

अन्य समीकरण 4y^{2}+x^{2}=4 में 2\sqrt{2}y में से x को घटाएं.

$$4y^{2}+\left(2\sqrt{2}y\right)^{2}=4$$

वर्गमूल 2\sqrt{2}y.

$$4y^{2}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}y^{2}=4$$

4y^{2} में \left(2\sqrt{2}\right)^{2}y^{2} को जोड़ें.

$$\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)y^{2}=4$$

समीकरण के दोनों ओर से 4 घटाएं.

$$\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)y^{2}-4=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 4+1\times \left(2\sqrt{2}\right)^{2}, b के लिए 1\times 0\times 2\times 2\sqrt{2} और द्विघात सूत्र में c के लिए -4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)\left(-4\right)}}{2\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)}$$

वर्गमूल 1\times 0\times 2\times 2\sqrt{2}.

$$y=\frac{0±\sqrt{-4\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)\left(-4\right)}}{2\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)}$$

-4 को 4+1\times \left(2\sqrt{2}\right)^{2} बार गुणा करें.

$$y=\frac{0±\sqrt{-48\left(-4\right)}}{2\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)}$$

-48 को -4 बार गुणा करें.

$$y=\frac{0±\sqrt{192}}{2\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)}$$

192 का वर्गमूल लें.

$$y=\frac{0±8\sqrt{3}}{2\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)}$$

2 को 4+1\times \left(2\sqrt{2}\right)^{2} बार गुणा करें.

$$y=\frac{0±8\sqrt{3}}{24}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण y=\frac{0±8\sqrt{3}}{24} को हल करें.

$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण y=\frac{0±8\sqrt{3}}{24} को हल करें.

$$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

y के लिए दोनों हल समान हैं: \frac{\sqrt{3}}{3} और -\frac{\sqrt{3}}{3}. x के लिए संगत हल ढूंढने के लिए समीकरण x=2\sqrt{2}y में y से \frac{\sqrt{3}}{3} को घटाएं, जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है.

$$x=2\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{3}$$

अब x=2\sqrt{2}y समीकरण में -\frac{\sqrt{3}}{3} में से y को घटाएं और x के लिए संगत हल ढूंढने के लिए हल करें जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता हो.

$$x=2\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=2\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{3},y=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{ or }x=2\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right),y=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$