{l}{k/L=100}{5k+50L=110} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { k } { L } = 100 } \\ { 5 k + 50 L = 110 } \end{array} \right.$$

k, L के लिए हल करें

$$k=20$$

$$L=\frac{1}{5}=0.2$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. चर L, 0 के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि शून्य से विभाजन निर्धारित नहीं है. समीकरण के दोनों को L से गुणा करें.

$$k=100L$$

अन्य समीकरण 5k+50L=110 में 100L में से k को घटाएं.

$$5\times 100L+50L=110$$

5 को 100L बार गुणा करें.

$$500L+50L=110$$

500L में 50L को जोड़ें.

$$550L=110$$

दोनों ओर 550 से विभाजन करें.

$$L=\frac{1}{5}$$

\frac{1}{5} को k=100L में L के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे k के लिए हल कर सकते हैं.

$$k=100\times \frac{1}{5}$$

100 को \frac{1}{5} बार गुणा करें.

$$k=20$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. चर L, 0 के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि शून्य से विभाजन निर्धारित नहीं है. समीकरण के दोनों को L से गुणा करें.

$$k=100L$$

दोनों ओर से 100L घटाएँ.

$$k-100L=0$$

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स के लिए \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), प्रतिलोम मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है, ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-\left(-100\times 5\right)}&-\frac{-100}{50-\left(-100\times 5\right)}\\-\frac{5}{50-\left(-100\times 5\right)}&\frac{1}{50-\left(-100\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{1}{110}&\frac{1}{550}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 110\\\frac{1}{550}\times 110\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों k और L को निकालना.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. चर L, 0 के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि शून्य से विभाजन निर्धारित नहीं है. समीकरण के दोनों को L से गुणा करें.

$$k=100L$$

दोनों ओर से 100L घटाएँ.

$$k-100L=0$$

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

k और 5k को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 5 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 1 से गुणा करें.

$$5k+5\left(-100\right)L=0,5k+50L=110$$

सरल बनाएं.

$$5k-500L=0,5k+50L=110$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 5k+50L=110 में से 5k-500L=0 को घटाएं.

$$5k-5k-500L-50L=-110$$

5k में -5k को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 5k और -5k को विभाजित कर दिया गया है.

$$-500L-50L=-110$$

-500L में -50L को जोड़ें.

$$-550L=-110$$

दोनों ओर -550 से विभाजन करें.

$$L=\frac{1}{5}$$

\frac{1}{5} को 5k+50L=110 में L के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे k के लिए हल कर सकते हैं.

$$5k+50\times \frac{1}{5}=110$$

50 को \frac{1}{5} बार गुणा करें.

$$5k+10=110$$

समीकरण के दोनों ओर से 10 घटाएं.

$$5k=100$$

दोनों ओर 5 से विभाजन करें.

$$k=20$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$