{l}{9x+4y/3-5x-11/2=13-y}{13x-7y=-8} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 9 x + 4 y } { 3 } - \frac { 5 x - 11 } { 2 } = 13 - y } \\ { 13 x - 7 y = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=1$$

$$y=3$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों ओर 6 से गुणा करें, जो कि 3,2 का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

9x+4y से 2 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

5x-11 से -3 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

3x प्राप्त करने के लिए 18x और -15x संयोजित करें.

$$3x+8y+33=78-6y$$

दोनों ओर 6y जोड़ें.

$$3x+8y+33+6y=78$$

14y प्राप्त करने के लिए 8y और 6y संयोजित करें.

$$3x+14y+33=78$$

दोनों ओर से 33 घटाएँ.

$$3x+14y=78-33$$

45 प्राप्त करने के लिए 33 में से 78 घटाएं.

$$3x+14y=45$$

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$3x+14y=45$$

समीकरण के दोनों ओर से 14y घटाएं.

$$3x=-14y+45$$

दोनों ओर 3 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{3}\left(-14y+45\right)$$

\frac{1}{3} को -14y+45 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{14}{3}y+15$$

अन्य समीकरण 13x-7y=-8 में -\frac{14y}{3}+15 में से x को घटाएं.

$$13\left(-\frac{14}{3}y+15\right)-7y=-8$$

13 को -\frac{14y}{3}+15 बार गुणा करें.

$$-\frac{182}{3}y+195-7y=-8$$

-\frac{182y}{3} में -7y को जोड़ें.

$$-\frac{203}{3}y+195=-8$$

समीकरण के दोनों ओर से 195 घटाएं.

$$-\frac{203}{3}y=-203$$

समीकरण के दोनों ओर -\frac{203}{3} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$y=3$$

3 को x=-\frac{14}{3}y+15 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{14}{3}\times 3+15$$

-\frac{14}{3} को 3 बार गुणा करें.

$$x=-14+15$$

15 में -14 को जोड़ें.

$$x=1$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=1,y=3$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों ओर 6 से गुणा करें, जो कि 3,2 का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

9x+4y से 2 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

5x-11 से -3 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

3x प्राप्त करने के लिए 18x और -15x संयोजित करें.

$$3x+8y+33=78-6y$$

दोनों ओर 6y जोड़ें.

$$3x+8y+33+6y=78$$

14y प्राप्त करने के लिए 8y और 6y संयोजित करें.

$$3x+14y+33=78$$

दोनों ओर से 33 घटाएँ.

$$3x+14y=78-33$$

45 प्राप्त करने के लिए 33 में से 78 घटाएं.

$$3x+14y=45$$

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-14\times 13}&-\frac{14}{3\left(-7\right)-14\times 13}\\-\frac{13}{3\left(-7\right)-14\times 13}&\frac{3}{3\left(-7\right)-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{13}{203}&-\frac{3}{203}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}\times 45+\frac{2}{29}\left(-8\right)\\\frac{13}{203}\times 45-\frac{3}{203}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=1,y=3$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों ओर 6 से गुणा करें, जो कि 3,2 का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

9x+4y से 2 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

5x-11 से -3 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

3x प्राप्त करने के लिए 18x और -15x संयोजित करें.

$$3x+8y+33=78-6y$$

दोनों ओर 6y जोड़ें.

$$3x+8y+33+6y=78$$

14y प्राप्त करने के लिए 8y और 6y संयोजित करें.

$$3x+14y+33=78$$

दोनों ओर से 33 घटाएँ.

$$3x+14y=78-33$$

45 प्राप्त करने के लिए 33 में से 78 घटाएं.

$$3x+14y=45$$

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

3x और 13x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 13 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 3 से गुणा करें.

$$13\times 3x+13\times 14y=13\times 45,3\times 13x+3\left(-7\right)y=3\left(-8\right)$$

सरल बनाएं.

$$39x+182y=585,39x-21y=-24$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 39x-21y=-24 में से 39x+182y=585 को घटाएं.

$$39x-39x+182y+21y=585+24$$

39x में -39x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 39x और -39x को विभाजित कर दिया गया है.

$$182y+21y=585+24$$

182y में 21y को जोड़ें.

$$203y=585+24$$

585 में 24 को जोड़ें.

$$203y=609$$

दोनों ओर 203 से विभाजन करें.

$$y=3$$

3 को 13x-7y=-8 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$13x-7\times 3=-8$$

-7 को 3 बार गुणा करें.

$$13x-21=-8$$

समीकरण के दोनों ओर 21 जोड़ें.

$$13x=13$$

दोनों ओर 13 से विभाजन करें.

$$x=1$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=1,y=3$$