{l}{3a+1/4-4b-1/7=1}{a+1/3-b+2/4=1} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 a + 1 } { 4 } - \frac { 4 b - 1 } { 7 } = 1 } \\ { \frac { a + 1 } { 3 } - \frac { b + 2 } { 4 } = 1 } \end{array} \right.$$

a, b के लिए हल करें

$$a=173$$

$$b=226$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों ओर 28 से गुणा करें, जो कि 4,7 का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$7\left(3a+1\right)-4\left(4b-1\right)=28$$

3a+1 से 7 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$21a+7-4\left(4b-1\right)=28$$

4b-1 से -4 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$21a+7-16b+4=28$$

11 को प्राप्त करने के लिए 7 और 4 को जोड़ें.

$$21a+11-16b=28$$

दोनों ओर से 11 घटाएँ.

$$21a-16b=28-11$$

17 प्राप्त करने के लिए 11 में से 28 घटाएं.

$$21a-16b=17$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों ओर 12 से गुणा करें, जो कि 3,4 का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$4\left(a+1\right)-3\left(b+2\right)=12$$

a+1 से 4 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$4a+4-3\left(b+2\right)=12$$

b+2 से -3 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$4a+4-3b-6=12$$

-2 प्राप्त करने के लिए 6 में से 4 घटाएं.

$$4a-2-3b=12$$

दोनों ओर 2 जोड़ें.

$$4a-3b=12+2$$

14 को प्राप्त करने के लिए 12 और 2 को जोड़ें.

$$4a-3b=14$$

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$21a-16b=17,4a-3b=14$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर a से पृथक् करके a से हल करें.

$$21a-16b=17$$

समीकरण के दोनों ओर 16b जोड़ें.

$$21a=16b+17$$

दोनों ओर 21 से विभाजन करें.

$$a=\frac{1}{21}\left(16b+17\right)$$

\frac{1}{21} को 16b+17 बार गुणा करें.

$$a=\frac{16}{21}b+\frac{17}{21}$$

अन्य समीकरण 4a-3b=14 में \frac{16b+17}{21} में से a को घटाएं.

$$4\left(\frac{16}{21}b+\frac{17}{21}\right)-3b=14$$

4 को \frac{16b+17}{21} बार गुणा करें.

$$\frac{64}{21}b+\frac{68}{21}-3b=14$$

\frac{64b}{21} में -3b को जोड़ें.

$$\frac{1}{21}b+\frac{68}{21}=14$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{68}{21} घटाएं.

$$\frac{1}{21}b=\frac{226}{21}$$

दोनों ओर 21 से गुणा करें.

$$b=226$$

226 को a=\frac{16}{21}b+\frac{17}{21} में b के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे a के लिए हल कर सकते हैं.

$$a=\frac{16}{21}\times 226+\frac{17}{21}$$

\frac{16}{21} को 226 बार गुणा करें.

$$a=\frac{3616+17}{21}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{17}{21} में \frac{3616}{21} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$a=173$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$a=173,b=226$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों ओर 28 से गुणा करें, जो कि 4,7 का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$7\left(3a+1\right)-4\left(4b-1\right)=28$$

3a+1 से 7 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$21a+7-4\left(4b-1\right)=28$$

4b-1 से -4 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$21a+7-16b+4=28$$

11 को प्राप्त करने के लिए 7 और 4 को जोड़ें.

$$21a+11-16b=28$$

दोनों ओर से 11 घटाएँ.

$$21a-16b=28-11$$

17 प्राप्त करने के लिए 11 में से 28 घटाएं.

$$21a-16b=17$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों ओर 12 से गुणा करें, जो कि 3,4 का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$4\left(a+1\right)-3\left(b+2\right)=12$$

a+1 से 4 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$4a+4-3\left(b+2\right)=12$$

b+2 से -3 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$4a+4-3b-6=12$$

-2 प्राप्त करने के लिए 6 में से 4 घटाएं.

$$4a-2-3b=12$$

दोनों ओर 2 जोड़ें.

$$4a-3b=12+2$$

14 को प्राप्त करने के लिए 12 और 2 को जोड़ें.

$$4a-3b=14$$

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$21a-16b=17,4a-3b=14$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{21\left(-3\right)-\left(-16\times 4\right)}&-\frac{-16}{21\left(-3\right)-\left(-16\times 4\right)}\\-\frac{4}{21\left(-3\right)-\left(-16\times 4\right)}&\frac{21}{21\left(-3\right)-\left(-16\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&16\\-4&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 17+16\times 14\\-4\times 17+21\times 14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}173\\226\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों a और b को निकालना.

$$a=173,b=226$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों ओर 28 से गुणा करें, जो कि 4,7 का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$7\left(3a+1\right)-4\left(4b-1\right)=28$$

3a+1 से 7 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$21a+7-4\left(4b-1\right)=28$$

4b-1 से -4 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$21a+7-16b+4=28$$

11 को प्राप्त करने के लिए 7 और 4 को जोड़ें.

$$21a+11-16b=28$$

दोनों ओर से 11 घटाएँ.

$$21a-16b=28-11$$

17 प्राप्त करने के लिए 11 में से 28 घटाएं.

$$21a-16b=17$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों ओर 12 से गुणा करें, जो कि 3,4 का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$4\left(a+1\right)-3\left(b+2\right)=12$$

a+1 से 4 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$4a+4-3\left(b+2\right)=12$$

b+2 से -3 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$4a+4-3b-6=12$$

-2 प्राप्त करने के लिए 6 में से 4 घटाएं.

$$4a-2-3b=12$$

दोनों ओर 2 जोड़ें.

$$4a-3b=12+2$$

14 को प्राप्त करने के लिए 12 और 2 को जोड़ें.

$$4a-3b=14$$

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$21a-16b=17,4a-3b=14$$

21a और 4a को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 4 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 21 से गुणा करें.

$$4\times 21a+4\left(-16\right)b=4\times 17,21\times 4a+21\left(-3\right)b=21\times 14$$

सरल बनाएं.

$$84a-64b=68,84a-63b=294$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 84a-63b=294 में से 84a-64b=68 को घटाएं.

$$84a-84a-64b+63b=68-294$$

84a में -84a को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 84a और -84a को विभाजित कर दिया गया है.

$$-64b+63b=68-294$$

-64b में 63b को जोड़ें.

$$-b=68-294$$

68 में -294 को जोड़ें.

$$-b=-226$$

दोनों ओर -1 से विभाजन करें.

$$b=226$$

226 को 4a-3b=14 में b के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे a के लिए हल कर सकते हैं.

$$4a-3\times 226=14$$

-3 को 226 बार गुणा करें.

$$4a-678=14$$

समीकरण के दोनों ओर 678 जोड़ें.

$$4a=692$$

दोनों ओर 4 से विभाजन करें.

$$a=173$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$a=173,b=226$$