{l}{108/100x+110y/100=1008}{110/100x+108/100y=1028} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 110 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 108 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x = \frac{105400}{109} = 966\frac{106}{109} \approx 966.972477064$$

$$y = -\frac{3600}{109} = -33\frac{3}{109} \approx -33.027522936$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों को 100 से गुणा करें.

$$108x+110y=100800$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. 10 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{110}{100} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{108}{100} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$108x+110y=100800$$

समीकरण के दोनों ओर से 110y घटाएं.

$$108x=-110y+100800$$

दोनों ओर 108 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{108}\left(-110y+100800\right)$$

\frac{1}{108} को -110y+100800 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}$$

अन्य समीकरण \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028 में -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} में से x को घटाएं.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{27}{25}y=1028$$

\frac{11}{10} को -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} बार गुणा करें.

$$-\frac{121}{108}y+\frac{3080}{3}+\frac{27}{25}y=1028$$

-\frac{121y}{108} में \frac{27y}{25} को जोड़ें.

$$-\frac{109}{2700}y+\frac{3080}{3}=1028$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{3080}{3} घटाएं.

$$-\frac{109}{2700}y=\frac{4}{3}$$

समीकरण के दोनों ओर -\frac{109}{2700} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

-\frac{3600}{109} को x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3} में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{55}{54}\left(-\frac{3600}{109}\right)+\frac{2800}{3}$$

अंश के बार अंश से और हर के बराबर हर से गुणा करके -\frac{55}{54} का -\frac{3600}{109} बार गुणा करें. फिर यदि संभव हो तो भिन्न को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=\frac{11000}{327}+\frac{2800}{3}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{2800}{3} में \frac{11000}{327} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x=\frac{105400}{109}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों को 100 से गुणा करें.

$$108x+110y=100800$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. 10 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{110}{100} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{108}{100} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{27}{25}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&-\frac{110}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}&\frac{2750}{109}\\\frac{55}{218}&-\frac{2700}{109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}\times 100800+\frac{2750}{109}\times 1028\\\frac{55}{218}\times 100800-\frac{2700}{109}\times 1028\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105400}{109}\\-\frac{3600}{109}\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों को 100 से गुणा करें.

$$108x+110y=100800$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. 10 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{110}{100} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4 को निकालकर और रद्द करके भिन्न \frac{108}{100} को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

108x और \frac{11x}{10} को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को \frac{11}{10} से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 108 से गुणा करें.

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 110y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{27}{25}y=108\times 1028$$

सरल बनाएं.

$$\frac{594}{5}x+121y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर \frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024 में से \frac{594}{5}x+121y=110880 को घटाएं.

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

\frac{594x}{5} में -\frac{594x}{5} को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद \frac{594x}{5} और -\frac{594x}{5} को विभाजित कर दिया गया है.

$$121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

121y में -\frac{2916y}{25} को जोड़ें.

$$\frac{109}{25}y=110880-111024$$

110880 में -111024 को जोड़ें.

$$\frac{109}{25}y=-144$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{109}{25} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

-\frac{3600}{109} को \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}\left(-\frac{3600}{109}\right)=1028$$

अंश के बार अंश से और हर के बराबर हर से गुणा करके \frac{27}{25} का -\frac{3600}{109} बार गुणा करें. फिर यदि संभव हो तो भिन्न को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$\frac{11}{10}x-\frac{3888}{109}=1028$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{3888}{109} जोड़ें.

$$\frac{11}{10}x=\frac{115940}{109}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{11}{10} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$x=\frac{105400}{109}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$