{c}{x+y=500}{50x+80y=28000} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 500 } \\ { 50 x + 80 y = 28000 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=400$$

$$y=100$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$x+y=500$$

समीकरण के दोनों ओर से y घटाएं.

$$x=-y+500$$

अन्य समीकरण 50x+80y=28000 में -y+500 में से x को घटाएं.

$$50\left(-y+500\right)+80y=28000$$

50 को -y+500 बार गुणा करें.

$$-50y+25000+80y=28000$$

-50y में 80y को जोड़ें.

$$30y+25000=28000$$

समीकरण के दोनों ओर से 25000 घटाएं.

$$30y=3000$$

दोनों ओर 30 से विभाजन करें.

$$y=100$$

100 को x=-y+500 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-100+500$$

500 में -100 को जोड़ें.

$$x=400$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=400,y=100$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-50}&-\frac{1}{80-50}\\-\frac{50}{80-50}&\frac{1}{80-50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{1}{30}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times 500-\frac{1}{30}\times 28000\\-\frac{5}{3}\times 500+\frac{1}{30}\times 28000\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\100\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=400,y=100$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

x और 50x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 50 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 1 से गुणा करें.

$$50x+50y=50\times 500,50x+80y=28000$$

सरल बनाएं.

$$50x+50y=25000,50x+80y=28000$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 50x+80y=28000 में से 50x+50y=25000 को घटाएं.

$$50x-50x+50y-80y=25000-28000$$

50x में -50x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 50x और -50x को विभाजित कर दिया गया है.

$$50y-80y=25000-28000$$

50y में -80y को जोड़ें.

$$-30y=25000-28000$$

25000 में -28000 को जोड़ें.

$$-30y=-3000$$

दोनों ओर -30 से विभाजन करें.

$$y=100$$

100 को 50x+80y=28000 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$50x+80\times 100=28000$$

80 को 100 बार गुणा करें.

$$50x+8000=28000$$

समीकरण के दोनों ओर से 8000 घटाएं.

$$50x=20000$$

दोनों ओर 50 से विभाजन करें.

$$x=400$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=400,y=100$$