{c}{x+y=50}{300x+200y=11500} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 50 } \\ { 300 x + 200 y = 11500 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=15$$

$$y=35$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$x+y=50$$

समीकरण के दोनों ओर से y घटाएं.

$$x=-y+50$$

अन्य समीकरण 300x+200y=11500 में -y+50 में से x को घटाएं.

$$300\left(-y+50\right)+200y=11500$$

300 को -y+50 बार गुणा करें.

$$-300y+15000+200y=11500$$

-300y में 200y को जोड़ें.

$$-100y+15000=11500$$

समीकरण के दोनों ओर से 15000 घटाएं.

$$-100y=-3500$$

दोनों ओर -100 से विभाजन करें.

$$y=35$$

35 को x=-y+50 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-35+50$$

50 में -35 को जोड़ें.

$$x=15$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=15,y=35$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200-300}&-\frac{1}{200-300}\\-\frac{300}{200-300}&\frac{1}{200-300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{1}{100}\\3&-\frac{1}{100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 50+\frac{1}{100}\times 11500\\3\times 50-\frac{1}{100}\times 11500\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\35\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=15,y=35$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

x और 300x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 300 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 1 से गुणा करें.

$$300x+300y=300\times 50,300x+200y=11500$$

सरल बनाएं.

$$300x+300y=15000,300x+200y=11500$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 300x+200y=11500 में से 300x+300y=15000 को घटाएं.

$$300x-300x+300y-200y=15000-11500$$

300x में -300x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 300x और -300x को विभाजित कर दिया गया है.

$$300y-200y=15000-11500$$

300y में -200y को जोड़ें.

$$100y=15000-11500$$

15000 में -11500 को जोड़ें.

$$100y=3500$$

दोनों ओर 100 से विभाजन करें.

$$y=35$$

35 को 300x+200y=11500 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$300x+200\times 35=11500$$

200 को 35 बार गुणा करें.

$$300x+7000=11500$$

समीकरण के दोनों ओर से 7000 घटाएं.

$$300x=4500$$

दोनों ओर 300 से विभाजन करें.

$$x=15$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=15,y=35$$