{c}{40x+60y=480}{30x+15y=180} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { c } { 40 x + 60 y = 480 } \\ { 30 x + 15 y = 180 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=3$$

$$y=6$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$40x+60y=480$$

समीकरण के दोनों ओर से 60y घटाएं.

$$40x=-60y+480$$

दोनों ओर 40 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{40}\left(-60y+480\right)$$

\frac{1}{40} को -60y+480 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{3}{2}y+12$$

अन्य समीकरण 30x+15y=180 में -\frac{3y}{2}+12 में से x को घटाएं.

$$30\left(-\frac{3}{2}y+12\right)+15y=180$$

30 को -\frac{3y}{2}+12 बार गुणा करें.

$$-45y+360+15y=180$$

-45y में 15y को जोड़ें.

$$-30y+360=180$$

समीकरण के दोनों ओर से 360 घटाएं.

$$-30y=-180$$

दोनों ओर -30 से विभाजन करें.

$$y=6$$

6 को x=-\frac{3}{2}y+12 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+12$$

-\frac{3}{2} को 6 बार गुणा करें.

$$x=-9+12$$

12 में -9 को जोड़ें.

$$x=3$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=3,y=6$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-60\times 30}&-\frac{60}{40\times 15-60\times 30}\\-\frac{30}{40\times 15-60\times 30}&\frac{40}{40\times 15-60\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 480+\frac{1}{20}\times 180\\\frac{1}{40}\times 480-\frac{1}{30}\times 180\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=3,y=6$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

40x और 30x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 30 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 40 से गुणा करें.

$$30\times 40x+30\times 60y=30\times 480,40\times 30x+40\times 15y=40\times 180$$

सरल बनाएं.

$$1200x+1800y=14400,1200x+600y=7200$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 1200x+600y=7200 में से 1200x+1800y=14400 को घटाएं.

$$1200x-1200x+1800y-600y=14400-7200$$

1200x में -1200x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 1200x और -1200x को विभाजित कर दिया गया है.

$$1800y-600y=14400-7200$$

1800y में -600y को जोड़ें.

$$1200y=14400-7200$$

14400 में -7200 को जोड़ें.

$$1200y=7200$$

दोनों ओर 1200 से विभाजन करें.

$$y=6$$

6 को 30x+15y=180 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$30x+15\times 6=180$$

15 को 6 बार गुणा करें.

$$30x+90=180$$

समीकरण के दोनों ओर से 90 घटाएं.

$$30x=90$$

दोनों ओर 30 से विभाजन करें.

$$x=3$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=3,y=6$$