{c}{3x+2y=32}{365x+226y=267.6} का समाधान करें

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { 365 x + 226 y = 267.6 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x = -\frac{8371}{65} = -128\frac{51}{65} \approx -128.784615385$$

$$y = \frac{27193}{130} = 209\frac{23}{130} \approx 209.176923077$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$3x+2y=32$$

समीकरण के दोनों ओर से 2y घटाएं.

$$3x=-2y+32$$

दोनों ओर 3 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

\frac{1}{3} को -2y+32 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

अन्य समीकरण 365x+226y=267.6 में \frac{-2y+32}{3} में से x को घटाएं.

$$365\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+226y=267.6$$

365 को \frac{-2y+32}{3} बार गुणा करें.

$$-\frac{730}{3}y+\frac{11680}{3}+226y=267.6$$

-\frac{730y}{3} में 226y को जोड़ें.

$$-\frac{52}{3}y+\frac{11680}{3}=267.6$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{11680}{3} घटाएं.

$$-\frac{52}{3}y=-\frac{54386}{15}$$

समीकरण के दोनों ओर -\frac{52}{3} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$y=\frac{27193}{130}$$

\frac{27193}{130} को x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3} में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{27193}{130}+\frac{32}{3}$$

अंश के बार अंश से और हर के बराबर हर से गुणा करके -\frac{2}{3} का \frac{27193}{130} बार गुणा करें. फिर यदि संभव हो तो भिन्न को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=-\frac{27193}{195}+\frac{32}{3}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{32}{3} में -\frac{27193}{195} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x=-\frac{8371}{65}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{226}{3\times 226-2\times 365}&-\frac{2}{3\times 226-2\times 365}\\-\frac{365}{3\times 226-2\times 365}&\frac{3}{3\times 226-2\times 365}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{365}{52}&-\frac{3}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}\times 32+\frac{1}{26}\times 267.6\\\frac{365}{52}\times 32-\frac{3}{52}\times 267.6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8371}{65}\\\frac{27193}{130}\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

3x और 365x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 365 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 3 से गुणा करें.

$$365\times 3x+365\times 2y=365\times 32,3\times 365x+3\times 226y=3\times 267.6$$

सरल बनाएं.

$$1095x+730y=11680,1095x+678y=802.8$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 1095x+678y=802.8 में से 1095x+730y=11680 को घटाएं.

$$1095x-1095x+730y-678y=11680-802.8$$

1095x में -1095x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 1095x और -1095x को विभाजित कर दिया गया है.

$$730y-678y=11680-802.8$$

730y में -678y को जोड़ें.

$$52y=11680-802.8$$

11680 में -802.8 को जोड़ें.

$$52y=10877.2$$

दोनों ओर 52 से विभाजन करें.

$$y=\frac{27193}{130}$$

\frac{27193}{130} को 365x+226y=267.6 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$365x+226\times \frac{27193}{130}=267.6$$

226 को \frac{27193}{130} बार गुणा करें.

$$365x+\frac{3072809}{65}=267.6$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{3072809}{65} घटाएं.

$$365x=-\frac{611083}{13}$$

दोनों ओर 365 से विभाजन करें.

$$x=-\frac{8371}{65}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$