{l}{y=kx+b}{x^2/4+y^2=1} का समाधान करें

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + b } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }|k|\geq \frac{\sqrt{b^{2}-1}}{2}\text{ or }|b|<1$$

स्थानापन्न और द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. दोनों ओर से kx घटाएँ.

$$y-kx=b$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों को 4 से गुणा करें.

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$y+\left(-k\right)x=b,x^{2}+4y^{2}=4$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ ओर y को पृथक् करके y के लिए y+\left(-k\right)x=b को हल करें.

$$y+\left(-k\right)x=b$$

समीकरण के दोनों ओर से \left(-k\right)x घटाएं.

$$y=kx+b$$

अन्य समीकरण x^{2}+4y^{2}=4 में kx+b में से y को घटाएं.

$$x^{2}+4\left(kx+b\right)^{2}=4$$

वर्गमूल kx+b.

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}\right)=4$$

4 को k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2} बार गुणा करें.

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

x^{2} में 4k^{2}x^{2} को जोड़ें.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

समीकरण के दोनों ओर से 4 घटाएं.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}-4=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 1+4k^{2}, b के लिए 4\times 2kb और द्विघात सूत्र में c के लिए -4+4b^{2}, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{\left(8bk\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

वर्गमूल 4\times 2kb.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4 को 1+4k^{2} बार गुणा करें.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4-16k^{2} को -4+4b^{2} बार गुणा करें.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-16\left(b^{2}-1\right)\left(4k^{2}+1\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

64k^{2}b^{2} में -16\left(1+4k^{2}\right)\left(b^{2}-1\right) को जोड़ें.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{16+64k^{2}-16b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-16b^{2}+64k^{2}+16 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

2 को 1+4k^{2} बार गुणा करें.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} को हल करें. -8kb में 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} को जोड़ें.

$$x=\frac{-8bk+4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

2+8k^{2} को -8bk+4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} से विभाजित करें.

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} को हल करें. -8kb में से 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} को घटाएं.

$$x=\frac{-8bk-4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

2+8k^{2} को -8kb-4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} से विभाजित करें.

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x के लिए दोनों हल समान हैं: \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} और -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}. y के लिए संगत हल ढूंढने के लिए समीकरण y=kx+b में x से \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} को घटाएं, जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है.

$$y=k\times \frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}+b$$

k को \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} बार गुणा करें.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b$$

अब y=kx+b समीकरण में -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} में से x को घटाएं और y के लिए संगत हल ढूंढने के लिए हल करें जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता हो.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)+b$$

k को -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} बार गुणा करें.

$$y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b,x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b,x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x, y के लिए हल करें (जटिल समाधान)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=-\frac{b^{2}-1}{2bk}\text{, }y=\frac{b^{2}+1}{2b}\text{, }&b\neq 0\text{ and }\left(k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\right)\end{matrix}\right.$$