{l}{y=-4/5x-9}{y=-8x/3-15} का समाधान करें

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { - 4 } { 5 } x - 9 } \\ { y = - \frac { 8 x } { 3 } - 15 } \end{array} \right.$$

y, x के लिए हल करें

$$x = -\frac{45}{14} = -3\frac{3}{14} \approx -3.214285714$$

$$y = -\frac{45}{7} = -6\frac{3}{7} \approx -6.428571429$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. ऋण के चिह्न को निकालकर भिन्न \frac{-4}{5} को -\frac{4}{5} रूप में पुनः लिखा जा सकता है.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

अन्य समीकरण 3y+8x=-45 में -\frac{4x}{5}-9 में से y को घटाएं.

$$3\left(-\frac{4}{5}x-9\right)+8x=-45$$

3 को -\frac{4x}{5}-9 बार गुणा करें.

$$-\frac{12}{5}x-27+8x=-45$$

-\frac{12x}{5} में 8x को जोड़ें.

$$\frac{28}{5}x-27=-45$$

समीकरण के दोनों ओर 27 जोड़ें.

$$\frac{28}{5}x=-18$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{28}{5} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$x=-\frac{45}{14}$$

-\frac{45}{14} को y=-\frac{4}{5}x-9 में x के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे y के लिए हल कर सकते हैं.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{45}{14}\right)-9$$

अंश के बार अंश से और हर के बराबर हर से गुणा करके -\frac{4}{5} का -\frac{45}{14} बार गुणा करें. फिर यदि संभव हो तो भिन्न को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$y=\frac{18}{7}-9$$

-9 में \frac{18}{7} को जोड़ें.

$$y=-\frac{45}{7}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. ऋण के चिह्न को निकालकर भिन्न \frac{-4}{5} को -\frac{4}{5} रूप में पुनः लिखा जा सकता है.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

दोनों ओर \frac{4}{5}x जोड़ें.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. दोनों ओर \frac{8x}{3} जोड़ें.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

समीकरण के दोनों को 3 से गुणा करें.

$$3y+8x=-45$$

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{4}{5}\times 3}&-\frac{\frac{4}{5}}{8-\frac{4}{5}\times 3}\\-\frac{3}{8-\frac{4}{5}\times 3}&\frac{1}{8-\frac{4}{5}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{28}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\left(-9\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{28}\left(-9\right)+\frac{5}{28}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{45}{7}\\-\frac{45}{14}\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों y और x को निकालना.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. ऋण के चिह्न को निकालकर भिन्न \frac{-4}{5} को -\frac{4}{5} रूप में पुनः लिखा जा सकता है.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

दोनों ओर \frac{4}{5}x जोड़ें.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. दोनों ओर \frac{8x}{3} जोड़ें.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

समीकरण के दोनों को 3 से गुणा करें.

$$3y+8x=-45$$

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

y और 3y को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 3 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 1 से गुणा करें.

$$3y+3\times \frac{4}{5}x=3\left(-9\right),3y+8x=-45$$

सरल बनाएं.

$$3y+\frac{12}{5}x=-27,3y+8x=-45$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 3y+8x=-45 में से 3y+\frac{12}{5}x=-27 को घटाएं.

$$3y-3y+\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

3y में -3y को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 3y और -3y को विभाजित कर दिया गया है.

$$\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

\frac{12x}{5} में -8x को जोड़ें.

$$-\frac{28}{5}x=-27+45$$

-27 में 45 को जोड़ें.

$$-\frac{28}{5}x=18$$

समीकरण के दोनों ओर -\frac{28}{5} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$x=-\frac{45}{14}$$

-\frac{45}{14} को 3y+8x=-45 में x के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे y के लिए हल कर सकते हैं.

$$3y+8\left(-\frac{45}{14}\right)=-45$$

8 को -\frac{45}{14} बार गुणा करें.

$$3y-\frac{180}{7}=-45$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{180}{7} जोड़ें.

$$3y=-\frac{135}{7}$$

दोनों ओर 3 से विभाजन करें.

$$y=-\frac{45}{7}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$