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x, y के लिए हल करें
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x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200
प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.
x-y=10
समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.
x=y+10
समीकरण के दोनों ओर y जोड़ें.
2\left(y+10\right)+2y+\frac{1}{2}=200
अन्य समीकरण 2x+2y+\frac{1}{2}=200 में y+10 में से x को घटाएं.
2y+20+2y+\frac{1}{2}=200
2 को y+10 बार गुणा करें.
4y+20+\frac{1}{2}=200
2y में 2y को जोड़ें.
4y+\frac{41}{2}=200
20 में \frac{1}{2} को जोड़ें.
4y=\frac{359}{2}
समीकरण के दोनों ओर से \frac{41}{2} घटाएं.
y=\frac{359}{8}
दोनों ओर 4 से विभाजन करें.
x=\frac{359}{8}+10
\frac{359}{8} को x=y+10 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.
x=\frac{439}{8}
10 में \frac{359}{8} को जोड़ें.
x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}
अब सिस्टम का समाधान हो गया है.
x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200
समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.
\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)
समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.
inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)
किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)
बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)
2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)
अंकगणित करें.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\\-\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\end{matrix}\right)
मैट्रिक्स का गुणा करें.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{439}{8}\\\frac{359}{8}\end{matrix}\right)
अंकगणित करें.
x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}
मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.
x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200
घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.
2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2y+\frac{1}{2}=200
x और 2x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 2 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 1 से गुणा करें.
2x-2y=20,2x+2y+\frac{1}{2}=200
सरल बनाएं.
2x-2x-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200
बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 2x+2y+\frac{1}{2}=200 में से 2x-2y=20 को घटाएं.
-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200
2x में -2x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 2x और -2x को विभाजित कर दिया गया है.
-4y-\frac{1}{2}=20-200
-2y में -2y को जोड़ें.
-4y-\frac{1}{2}=-180
20 में -200 को जोड़ें.
-4y=-\frac{359}{2}
समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{2} जोड़ें.
y=\frac{359}{8}
दोनों ओर -4 से विभाजन करें.
2x+2\times \frac{359}{8}+\frac{1}{2}=200
\frac{359}{8} को 2x+2y+\frac{1}{2}=200 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.
2x+\frac{359}{4}+\frac{1}{2}=200
2 को \frac{359}{8} बार गुणा करें.
2x+\frac{361}{4}=200
सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{359}{4} में \frac{1}{2} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.
2x=\frac{439}{4}
समीकरण के दोनों ओर से \frac{361}{4} घटाएं.
x=\frac{439}{8}
दोनों ओर 2 से विभाजन करें.
x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}
अब सिस्टम का समाधान हो गया है.