{l}{x(1-2x)-y(1-y)=(y-sqrt{2}x)(y+sqrt{2}x)+3}{2x-(2y-1/4)^2+161/16=(2y+3)(3-2y)} का समाधान करें

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ( 1 - 2 x ) - y ( 1 - y ) = ( y - \sqrt { 2 } x ) ( y + \sqrt { 2 } x ) + 3 } \\ { 2 x - ( 2 y - \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } + 16 \frac { 1 } { 16 } = ( 2 y + 3 ) ( 3 - 2 y ) } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$y = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. 1-2x से x गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

1-y से y गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

y-y^{2} का विपरीत ढूँढने के लिए, प्रत्येक पद का विपरीत ढूँढें.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right) पर विचार करें. इस नियम का उपयोग करके गुणन को वर्गों के अंतर में रूपांतरित किया जा सकता है: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

\left(\sqrt{2}x\right)^{2} विस्तृत करें.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2} का वर्ग 2 है.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

दोनों ओर से y^{2} घटाएँ.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

0 प्राप्त करने के लिए y^{2} और -y^{2} संयोजित करें.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

दोनों ओर 2x^{2} जोड़ें.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

0 प्राप्त करने के लिए -2x^{2} और 2x^{2} संयोजित करें.

$$x-y=3$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों को 16 से गुणा करें.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

4y^{2}-y+\frac{1}{16} का विपरीत ढूँढने के लिए, प्रत्येक पद का विपरीत ढूँढें.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16} से 16 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 प्राप्त करने के लिए 16 और 16 का गुणा करें.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

255 को प्राप्त करने के लिए -1 और 256 को जोड़ें.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 को प्राप्त करने के लिए 255 और 1 को जोड़ें.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

2y+3 से 16 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

3-2y को 32y+48 से गुणा करें और संयोजित करें जैसे पदों के लिए बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

दोनों ओर 64y^{2} जोड़ें.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

0 प्राप्त करने के लिए -64y^{2} और 64y^{2} संयोजित करें.

$$32x+16y+256=144$$

दोनों ओर से 256 घटाएँ.

$$32x+16y=144-256$$

-112 प्राप्त करने के लिए 256 में से 144 घटाएं.

$$32x+16y=-112$$

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$x-y=3$$

समीकरण के दोनों ओर y जोड़ें.

$$x=y+3$$

अन्य समीकरण 32x+16y=-112 में y+3 में से x को घटाएं.

$$32\left(y+3\right)+16y=-112$$

32 को y+3 बार गुणा करें.

$$32y+96+16y=-112$$

32y में 16y को जोड़ें.

$$48y+96=-112$$

समीकरण के दोनों ओर से 96 घटाएं.

$$48y=-208$$

दोनों ओर 48 से विभाजन करें.

$$y=-\frac{13}{3}$$

-\frac{13}{3} को x=y+3 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{13}{3}+3$$

3 में -\frac{13}{3} को जोड़ें.

$$x=-\frac{4}{3}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. 1-2x से x गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

1-y से y गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

y-y^{2} का विपरीत ढूँढने के लिए, प्रत्येक पद का विपरीत ढूँढें.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right) पर विचार करें. इस नियम का उपयोग करके गुणन को वर्गों के अंतर में रूपांतरित किया जा सकता है: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

\left(\sqrt{2}x\right)^{2} विस्तृत करें.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2} का वर्ग 2 है.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

दोनों ओर से y^{2} घटाएँ.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

0 प्राप्त करने के लिए y^{2} और -y^{2} संयोजित करें.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

दोनों ओर 2x^{2} जोड़ें.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

0 प्राप्त करने के लिए -2x^{2} और 2x^{2} संयोजित करें.

$$x-y=3$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों को 16 से गुणा करें.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

4y^{2}-y+\frac{1}{16} का विपरीत ढूँढने के लिए, प्रत्येक पद का विपरीत ढूँढें.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16} से 16 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 प्राप्त करने के लिए 16 और 16 का गुणा करें.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

255 को प्राप्त करने के लिए -1 और 256 को जोड़ें.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 को प्राप्त करने के लिए 255 और 1 को जोड़ें.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

2y+3 से 16 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

3-2y को 32y+48 से गुणा करें और संयोजित करें जैसे पदों के लिए बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

दोनों ओर 64y^{2} जोड़ें.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

0 प्राप्त करने के लिए -64y^{2} और 64y^{2} संयोजित करें.

$$32x+16y+256=144$$

दोनों ओर से 256 घटाएँ.

$$32x+16y=144-256$$

-112 प्राप्त करने के लिए 256 में से 144 घटाएं.

$$32x+16y=-112$$

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{16-\left(-32\right)}&-\frac{-1}{16-\left(-32\right)}\\-\frac{32}{16-\left(-32\right)}&\frac{1}{16-\left(-32\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{48}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\\-\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. 1-2x से x गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

1-y से y गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

y-y^{2} का विपरीत ढूँढने के लिए, प्रत्येक पद का विपरीत ढूँढें.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right) पर विचार करें. इस नियम का उपयोग करके गुणन को वर्गों के अंतर में रूपांतरित किया जा सकता है: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

\left(\sqrt{2}x\right)^{2} विस्तृत करें.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2} का वर्ग 2 है.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

दोनों ओर से y^{2} घटाएँ.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

0 प्राप्त करने के लिए y^{2} और -y^{2} संयोजित करें.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

दोनों ओर 2x^{2} जोड़ें.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

0 प्राप्त करने के लिए -2x^{2} और 2x^{2} संयोजित करें.

$$x-y=3$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों को 16 से गुणा करें.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2} को विस्तृत करने के लिए द्विपद प्रमेय \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} का उपयोग करें.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

4y^{2}-y+\frac{1}{16} का विपरीत ढूँढने के लिए, प्रत्येक पद का विपरीत ढूँढें.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16} से 16 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 प्राप्त करने के लिए 16 और 16 का गुणा करें.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

255 को प्राप्त करने के लिए -1 और 256 को जोड़ें.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 को प्राप्त करने के लिए 255 और 1 को जोड़ें.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

2y+3 से 16 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

3-2y को 32y+48 से गुणा करें और संयोजित करें जैसे पदों के लिए बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

दोनों ओर 64y^{2} जोड़ें.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

0 प्राप्त करने के लिए -64y^{2} और 64y^{2} संयोजित करें.

$$32x+16y+256=144$$

दोनों ओर से 256 घटाएँ.

$$32x+16y=144-256$$

-112 प्राप्त करने के लिए 256 में से 144 घटाएं.

$$32x+16y=-112$$

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

x और 32x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 32 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 1 से गुणा करें.

$$32x+32\left(-1\right)y=32\times 3,32x+16y=-112$$

सरल बनाएं.

$$32x-32y=96,32x+16y=-112$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 32x+16y=-112 में से 32x-32y=96 को घटाएं.

$$32x-32x-32y-16y=96+112$$

32x में -32x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 32x और -32x को विभाजित कर दिया गया है.

$$-32y-16y=96+112$$

-32y में -16y को जोड़ें.

$$-48y=96+112$$

96 में 112 को जोड़ें.

$$-48y=208$$

दोनों ओर -48 से विभाजन करें.

$$y=-\frac{13}{3}$$

-\frac{13}{3} को 32x+16y=-112 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$32x+16\left(-\frac{13}{3}\right)=-112$$

16 को -\frac{13}{3} बार गुणा करें.

$$32x-\frac{208}{3}=-112$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{208}{3} जोड़ें.

$$32x=-\frac{128}{3}$$

दोनों ओर 32 से विभाजन करें.

$$x=-\frac{4}{3}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$