{l}{x+y=45}{18x+120y=6000} का समाधान करें

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 45 } \\ { 18 x + 120 y = 6000 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x = -\frac{100}{17} = -5\frac{15}{17} \approx -5.882352941$$

$$y = \frac{865}{17} = 50\frac{15}{17} \approx 50.882352941$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$x+y=45$$

समीकरण के दोनों ओर से y घटाएं.

$$x=-y+45$$

अन्य समीकरण 18x+120y=6000 में -y+45 में से x को घटाएं.

$$18\left(-y+45\right)+120y=6000$$

18 को -y+45 बार गुणा करें.

$$-18y+810+120y=6000$$

-18y में 120y को जोड़ें.

$$102y+810=6000$$

समीकरण के दोनों ओर से 810 घटाएं.

$$102y=5190$$

दोनों ओर 102 से विभाजन करें.

$$y=\frac{865}{17}$$

\frac{865}{17} को x=-y+45 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{865}{17}+45$$

45 में -\frac{865}{17} को जोड़ें.

$$x=-\frac{100}{17}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{120}{120-18}&-\frac{1}{120-18}\\-\frac{18}{120-18}&\frac{1}{120-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}&-\frac{1}{102}\\-\frac{3}{17}&\frac{1}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}\times 45-\frac{1}{102}\times 6000\\-\frac{3}{17}\times 45+\frac{1}{102}\times 6000\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{100}{17}\\\frac{865}{17}\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

x और 18x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 18 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 1 से गुणा करें.

$$18x+18y=18\times 45,18x+120y=6000$$

सरल बनाएं.

$$18x+18y=810,18x+120y=6000$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 18x+120y=6000 में से 18x+18y=810 को घटाएं.

$$18x-18x+18y-120y=810-6000$$

18x में -18x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 18x और -18x को विभाजित कर दिया गया है.

$$18y-120y=810-6000$$

18y में -120y को जोड़ें.

$$-102y=810-6000$$

810 में -6000 को जोड़ें.

$$-102y=-5190$$

दोनों ओर -102 से विभाजन करें.

$$y=\frac{865}{17}$$

\frac{865}{17} को 18x+120y=6000 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$18x+120\times \frac{865}{17}=6000$$

120 को \frac{865}{17} बार गुणा करें.

$$18x+\frac{103800}{17}=6000$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{103800}{17} घटाएं.

$$18x=-\frac{1800}{17}$$

दोनों ओर 18 से विभाजन करें.

$$x=-\frac{100}{17}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$