\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 204 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 3 } { 4 } x } \end{array} \right.
x, y के लिए हल करें
x=96
y=108
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\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0
दूसरी समीकरण पर विचार करें. दोनों ओर से \frac{3}{4}x घटाएँ.
x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.
x+y=204
समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.
x=-y+204
समीकरण के दोनों ओर से y घटाएं.
-\frac{3}{4}\left(-y+204\right)+\frac{2}{3}y=0
अन्य समीकरण -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 में -y+204 में से x को घटाएं.
\frac{3}{4}y-153+\frac{2}{3}y=0
-\frac{3}{4} को -y+204 बार गुणा करें.
\frac{17}{12}y-153=0
\frac{3y}{4} में \frac{2y}{3} को जोड़ें.
\frac{17}{12}y=153
समीकरण के दोनों ओर 153 जोड़ें.
y=108
समीकरण के दोनों ओर \frac{17}{12} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.
x=-108+204
108 को x=-y+204 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.
x=96
204 में -108 को जोड़ें.
x=96,y=108
अब सिस्टम का समाधान हो गया है.
\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0
दूसरी समीकरण पर विचार करें. दोनों ओर से \frac{3}{4}x घटाएँ.
x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.
\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.
inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}&-\frac{12}{17}\\\frac{9}{17}&\frac{12}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
अंकगणित करें.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\times 204\\\frac{9}{17}\times 204\end{matrix}\right)
मैट्रिक्स का गुणा करें.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}96\\108\end{matrix}\right)
अंकगणित करें.
x=96,y=108
मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.
\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0
दूसरी समीकरण पर विचार करें. दोनों ओर से \frac{3}{4}x घटाएँ.
x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.
-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-\frac{3}{4}\times 204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
x और -\frac{3x}{4} को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को -\frac{3}{4} से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 1 से गुणा करें.
-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
सरल बनाएं.
-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153
बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 में से -\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153 को घटाएं.
-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153
-\frac{3x}{4} में \frac{3x}{4} को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद -\frac{3x}{4} और \frac{3x}{4} को विभाजित कर दिया गया है.
-\frac{17}{12}y=-153
-\frac{3y}{4} में -\frac{2y}{3} को जोड़ें.
y=108
समीकरण के दोनों ओर -\frac{17}{12} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.
-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\times 108=0
108 को -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.
-\frac{3}{4}x+72=0
\frac{2}{3} को 108 बार गुणा करें.
-\frac{3}{4}x=-72
समीकरण के दोनों ओर से 72 घटाएं.
x=96
समीकरण के दोनों ओर -\frac{3}{4} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.
x=96,y=108
अब सिस्टम का समाधान हो गया है.
उदाहरण
द्विघात समीकरण
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
त्रिकोणमिति
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
रैखिक समीकरण
y = 3x + 4
अंकगणित
699 * 533
मैट्रिक्स
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
समकालिक समीकरण
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
अवकलन
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
समाकलन
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
सीमाएँ
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}