{l}{x+y=15}{250x+80y=2900} का समाधान करें

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 15 } \\ { 250 x + 80 y = 2900 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=10$$

$$y=5$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$x+y=15$$

समीकरण के दोनों ओर से y घटाएं.

$$x=-y+15$$

अन्य समीकरण 250x+80y=2900 में -y+15 में से x को घटाएं.

$$250\left(-y+15\right)+80y=2900$$

250 को -y+15 बार गुणा करें.

$$-250y+3750+80y=2900$$

-250y में 80y को जोड़ें.

$$-170y+3750=2900$$

समीकरण के दोनों ओर से 3750 घटाएं.

$$-170y=-850$$

दोनों ओर -170 से विभाजन करें.

$$y=5$$

5 को x=-y+15 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-5+15$$

15 में -5 को जोड़ें.

$$x=10$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=10,y=5$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-250}&-\frac{1}{80-250}\\-\frac{250}{80-250}&\frac{1}{80-250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}&\frac{1}{170}\\\frac{25}{17}&-\frac{1}{170}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}\times 15+\frac{1}{170}\times 2900\\\frac{25}{17}\times 15-\frac{1}{170}\times 2900\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=10,y=5$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

x और 250x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 250 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 1 से गुणा करें.

$$250x+250y=250\times 15,250x+80y=2900$$

सरल बनाएं.

$$250x+250y=3750,250x+80y=2900$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 250x+80y=2900 में से 250x+250y=3750 को घटाएं.

$$250x-250x+250y-80y=3750-2900$$

250x में -250x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 250x और -250x को विभाजित कर दिया गया है.

$$250y-80y=3750-2900$$

250y में -80y को जोड़ें.

$$170y=3750-2900$$

3750 में -2900 को जोड़ें.

$$170y=850$$

दोनों ओर 170 से विभाजन करें.

$$y=5$$

5 को 250x+80y=2900 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$250x+80\times 5=2900$$

80 को 5 बार गुणा करें.

$$250x+400=2900$$

समीकरण के दोनों ओर से 400 घटाएं.

$$250x=2500$$

दोनों ओर 250 से विभाजन करें.

$$x=10$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=10,y=5$$