{l}{8x+20y=11400}{10x+30y=22500} का समाधान करें

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 20 y = 11400 } \\ { 10 x + 30 y = 22500 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=-2700$$

$$y=1650$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$8x+20y=11400$$

समीकरण के दोनों ओर से 20y घटाएं.

$$8x=-20y+11400$$

दोनों ओर 8 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{8}\left(-20y+11400\right)$$

\frac{1}{8} को -20y+11400 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{5}{2}y+1425$$

अन्य समीकरण 10x+30y=22500 में -\frac{5y}{2}+1425 में से x को घटाएं.

$$10\left(-\frac{5}{2}y+1425\right)+30y=22500$$

10 को -\frac{5y}{2}+1425 बार गुणा करें.

$$-25y+14250+30y=22500$$

-25y में 30y को जोड़ें.

$$5y+14250=22500$$

समीकरण के दोनों ओर से 14250 घटाएं.

$$5y=8250$$

दोनों ओर 5 से विभाजन करें.

$$y=1650$$

1650 को x=-\frac{5}{2}y+1425 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{5}{2}\times 1650+1425$$

-\frac{5}{2} को 1650 बार गुणा करें.

$$x=-4125+1425$$

1425 में -4125 को जोड़ें.

$$x=-2700$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=-2700,y=1650$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{8\times 30-20\times 10}&-\frac{20}{8\times 30-20\times 10}\\-\frac{10}{8\times 30-20\times 10}&\frac{8}{8\times 30-20\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 11400-\frac{1}{2}\times 22500\\-\frac{1}{4}\times 11400+\frac{1}{5}\times 22500\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2700\\1650\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=-2700,y=1650$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

8x और 10x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 10 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 8 से गुणा करें.

$$10\times 8x+10\times 20y=10\times 11400,8\times 10x+8\times 30y=8\times 22500$$

सरल बनाएं.

$$80x+200y=114000,80x+240y=180000$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 80x+240y=180000 में से 80x+200y=114000 को घटाएं.

$$80x-80x+200y-240y=114000-180000$$

80x में -80x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 80x और -80x को विभाजित कर दिया गया है.

$$200y-240y=114000-180000$$

200y में -240y को जोड़ें.

$$-40y=114000-180000$$

114000 में -180000 को जोड़ें.

$$-40y=-66000$$

दोनों ओर -40 से विभाजन करें.

$$y=1650$$

1650 को 10x+30y=22500 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$10x+30\times 1650=22500$$

30 को 1650 बार गुणा करें.

$$10x+49500=22500$$

समीकरण के दोनों ओर से 49500 घटाएं.

$$10x=-27000$$

दोनों ओर 10 से विभाजन करें.

$$x=-2700$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=-2700,y=1650$$