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x, y के लिए हल करें
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78x+40y=1280,120x+80y=2800
प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.
78x+40y=1280
समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.
78x=-40y+1280
समीकरण के दोनों ओर से 40y घटाएं.
x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)
दोनों ओर 78 से विभाजन करें.
x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}
\frac{1}{78} को -40y+1280 बार गुणा करें.
120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+80y=2800
अन्य समीकरण 120x+80y=2800 में \frac{-20y+640}{39} में से x को घटाएं.
-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+80y=2800
120 को \frac{-20y+640}{39} बार गुणा करें.
\frac{240}{13}y+\frac{25600}{13}=2800
-\frac{800y}{13} में 80y को जोड़ें.
\frac{240}{13}y=\frac{10800}{13}
समीकरण के दोनों ओर से \frac{25600}{13} घटाएं.
y=45
समीकरण के दोनों ओर \frac{240}{13} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.
x=-\frac{20}{39}\times 45+\frac{640}{39}
45 को x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39} में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.
x=-\frac{300}{13}+\frac{640}{39}
-\frac{20}{39} को 45 बार गुणा करें.
x=-\frac{20}{3}
सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{640}{39} में -\frac{300}{13} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.
x=-\frac{20}{3},y=45
अब सिस्टम का समाधान हो गया है.
78x+40y=1280,120x+80y=2800
समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.
\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)
समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.
inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)
किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)
बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{78\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 80-40\times 120}&\frac{78}{78\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)
2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}&-\frac{1}{36}\\-\frac{1}{12}&\frac{13}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)
अंकगणित करें.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}\times 1280-\frac{1}{36}\times 2800\\-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{13}{240}\times 2800\end{matrix}\right)
मैट्रिक्स का गुणा करें.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\\45\end{matrix}\right)
अंकगणित करें.
x=-\frac{20}{3},y=45
मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.
78x+40y=1280,120x+80y=2800
घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.
120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 80y=78\times 2800
78x और 120x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 120 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 78 से गुणा करें.
9360x+4800y=153600,9360x+6240y=218400
सरल बनाएं.
9360x-9360x+4800y-6240y=153600-218400
बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 9360x+6240y=218400 में से 9360x+4800y=153600 को घटाएं.
4800y-6240y=153600-218400
9360x में -9360x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 9360x और -9360x को विभाजित कर दिया गया है.
-1440y=153600-218400
4800y में -6240y को जोड़ें.
-1440y=-64800
153600 में -218400 को जोड़ें.
y=45
दोनों ओर -1440 से विभाजन करें.
120x+80\times 45=2800
45 को 120x+80y=2800 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.
120x+3600=2800
80 को 45 बार गुणा करें.
120x=-800
समीकरण के दोनों ओर से 3600 घटाएं.
x=-\frac{20}{3}
दोनों ओर 120 से विभाजन करें.
x=-\frac{20}{3},y=45
अब सिस्टम का समाधान हो गया है.