{l}{78x+40y=1280}{120x+80y=2800} का समाधान करें

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3} \approx -6.666666667$$

$$y=45$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$78x+40y=1280$$

समीकरण के दोनों ओर से 40y घटाएं.

$$78x=-40y+1280$$

दोनों ओर 78 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

\frac{1}{78} को -40y+1280 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

अन्य समीकरण 120x+80y=2800 में \frac{-20y+640}{39} में से x को घटाएं.

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+80y=2800$$

120 को \frac{-20y+640}{39} बार गुणा करें.

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+80y=2800$$

-\frac{800y}{13} में 80y को जोड़ें.

$$\frac{240}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{25600}{13} घटाएं.

$$\frac{240}{13}y=\frac{10800}{13}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{240}{13} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$y=45$$

45 को x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39} में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{20}{39}\times 45+\frac{640}{39}$$

-\frac{20}{39} को 45 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{300}{13}+\frac{640}{39}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{640}{39} में -\frac{300}{13} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x=-\frac{20}{3}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{78\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 80-40\times 120}&\frac{78}{78\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}&-\frac{1}{36}\\-\frac{1}{12}&\frac{13}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}\times 1280-\frac{1}{36}\times 2800\\-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{13}{240}\times 2800\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\\45\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

78x और 120x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 120 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 78 से गुणा करें.

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 80y=78\times 2800$$

सरल बनाएं.

$$9360x+4800y=153600,9360x+6240y=218400$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 9360x+6240y=218400 में से 9360x+4800y=153600 को घटाएं.

$$9360x-9360x+4800y-6240y=153600-218400$$

9360x में -9360x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 9360x और -9360x को विभाजित कर दिया गया है.

$$4800y-6240y=153600-218400$$

4800y में -6240y को जोड़ें.

$$-1440y=153600-218400$$

153600 में -218400 को जोड़ें.

$$-1440y=-64800$$

दोनों ओर -1440 से विभाजन करें.

$$y=45$$

45 को 120x+80y=2800 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$120x+80\times 45=2800$$

80 को 45 बार गुणा करें.

$$120x+3600=2800$$

समीकरण के दोनों ओर से 3600 घटाएं.

$$120x=-800$$

दोनों ओर 120 से विभाजन करें.

$$x=-\frac{20}{3}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$