{l}{5x+7y=2060}{1020=2060-(2x+4y)} का समाधान करें

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 2060 } \\ { 1020 = 2060 - ( 2 x + 4 y ) } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=160$$

$$y=180$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

दूसरी समीकरण पर विचार करें. 2x+4y का विपरीत ढूँढने के लिए, प्रत्येक पद का विपरीत ढूँढें.

$$1020=2060-2x-4y$$

किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$2060-2x-4y=1020$$

दोनों ओर से 2060 घटाएँ.

$$-2x-4y=1020-2060$$

-1040 प्राप्त करने के लिए 2060 में से 1020 घटाएं.

$$-2x-4y=-1040$$

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$5x+7y=2060$$

समीकरण के दोनों ओर से 7y घटाएं.

$$5x=-7y+2060$$

दोनों ओर 5 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+2060\right)$$

\frac{1}{5} को -7y+2060 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{7}{5}y+412$$

अन्य समीकरण -2x-4y=-1040 में -\frac{7y}{5}+412 में से x को घटाएं.

$$-2\left(-\frac{7}{5}y+412\right)-4y=-1040$$

-2 को -\frac{7y}{5}+412 बार गुणा करें.

$$\frac{14}{5}y-824-4y=-1040$$

\frac{14y}{5} में -4y को जोड़ें.

$$-\frac{6}{5}y-824=-1040$$

समीकरण के दोनों ओर 824 जोड़ें.

$$-\frac{6}{5}y=-216$$

समीकरण के दोनों ओर -\frac{6}{5} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$y=180$$

180 को x=-\frac{7}{5}y+412 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{7}{5}\times 180+412$$

-\frac{7}{5} को 180 बार गुणा करें.

$$x=-252+412$$

412 में -252 को जोड़ें.

$$x=160$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=160,y=180$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

दूसरी समीकरण पर विचार करें. 2x+4y का विपरीत ढूँढने के लिए, प्रत्येक पद का विपरीत ढूँढें.

$$1020=2060-2x-4y$$

किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$2060-2x-4y=1020$$

दोनों ओर से 2060 घटाएँ.

$$-2x-4y=1020-2060$$

-1040 प्राप्त करने के लिए 2060 में से 1020 घटाएं.

$$-2x-4y=-1040$$

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&-\frac{7}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2060+\frac{7}{6}\left(-1040\right)\\-\frac{1}{3}\times 2060-\frac{5}{6}\left(-1040\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}160\\180\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=160,y=180$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

दूसरी समीकरण पर विचार करें. 2x+4y का विपरीत ढूँढने के लिए, प्रत्येक पद का विपरीत ढूँढें.

$$1020=2060-2x-4y$$

किनारों पर स्वैप करें जिससे सभी चर पद बाएँ हाथ की ओर आ जाएँ.

$$2060-2x-4y=1020$$

दोनों ओर से 2060 घटाएँ.

$$-2x-4y=1020-2060$$

-1040 प्राप्त करने के लिए 2060 में से 1020 घटाएं.

$$-2x-4y=-1040$$

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

5x और -2x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को -2 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 5 से गुणा करें.

$$-2\times 5x-2\times 7y=-2\times 2060,5\left(-2\right)x+5\left(-4\right)y=5\left(-1040\right)$$

सरल बनाएं.

$$-10x-14y=-4120,-10x-20y=-5200$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर -10x-20y=-5200 में से -10x-14y=-4120 को घटाएं.

$$-10x+10x-14y+20y=-4120+5200$$

-10x में 10x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद -10x और 10x को विभाजित कर दिया गया है.

$$-14y+20y=-4120+5200$$

-14y में 20y को जोड़ें.

$$6y=-4120+5200$$

-4120 में 5200 को जोड़ें.

$$6y=1080$$

दोनों ओर 6 से विभाजन करें.

$$y=180$$

180 को -2x-4y=-1040 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$-2x-4\times 180=-1040$$

-4 को 180 बार गुणा करें.

$$-2x-720=-1040$$

समीकरण के दोनों ओर 720 जोड़ें.

$$-2x=-320$$

दोनों ओर -2 से विभाजन करें.

$$x=160$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=160,y=180$$