{l}{48x+40y=1280}{120x+80y=2800} का समाधान करें

$$\left\{ \begin{array} { l } { 48 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=10$$

$$y=20$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$48x+40y=1280$$

समीकरण के दोनों ओर से 40y घटाएं.

$$48x=-40y+1280$$

दोनों ओर 48 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{48}\left(-40y+1280\right)$$

\frac{1}{48} को -40y+1280 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}$$

अन्य समीकरण 120x+80y=2800 में -\frac{5y}{6}+\frac{80}{3} में से x को घटाएं.

$$120\left(-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}\right)+80y=2800$$

120 को -\frac{5y}{6}+\frac{80}{3} बार गुणा करें.

$$-100y+3200+80y=2800$$

-100y में 80y को जोड़ें.

$$-20y+3200=2800$$

समीकरण के दोनों ओर से 3200 घटाएं.

$$-20y=-400$$

दोनों ओर -20 से विभाजन करें.

$$y=20$$

20 को x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3} में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{5}{6}\times 20+\frac{80}{3}$$

-\frac{5}{6} को 20 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-50+80}{3}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{80}{3} में -\frac{50}{3} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x=10$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=10,y=20$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{48\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{48\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{48\times 80-40\times 120}&\frac{48}{48\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{1}{24}\times 2800\\\frac{1}{8}\times 1280-\frac{1}{20}\times 2800\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=10,y=20$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

48x और 120x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 120 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 48 से गुणा करें.

$$120\times 48x+120\times 40y=120\times 1280,48\times 120x+48\times 80y=48\times 2800$$

सरल बनाएं.

$$5760x+4800y=153600,5760x+3840y=134400$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 5760x+3840y=134400 में से 5760x+4800y=153600 को घटाएं.

$$5760x-5760x+4800y-3840y=153600-134400$$

5760x में -5760x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 5760x और -5760x को विभाजित कर दिया गया है.

$$4800y-3840y=153600-134400$$

4800y में -3840y को जोड़ें.

$$960y=153600-134400$$

153600 में -134400 को जोड़ें.

$$960y=19200$$

दोनों ओर 960 से विभाजन करें.

$$y=20$$

20 को 120x+80y=2800 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$120x+80\times 20=2800$$

80 को 20 बार गुणा करें.

$$120x+1600=2800$$

समीकरण के दोनों ओर से 1600 घटाएं.

$$120x=1200$$

दोनों ओर 120 से विभाजन करें.

$$x=10$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=10,y=20$$