{l}{361x+463y=-102}{463x+361y=102} का समाधान करें

$$\left\{ \begin{array} { l } { 361 x + 463 y = - 102 } \\ { 463 x + 361 y = 102 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=1$$

$$y=-1$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$361x+463y=-102$$

समीकरण के दोनों ओर से 463y घटाएं.

$$361x=-463y-102$$

दोनों ओर 361 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{361}\left(-463y-102\right)$$

\frac{1}{361} को -463y-102 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}$$

अन्य समीकरण 463x+361y=102 में \frac{-463y-102}{361} में से x को घटाएं.

$$463\left(-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}\right)+361y=102$$

463 को \frac{-463y-102}{361} बार गुणा करें.

$$-\frac{214369}{361}y-\frac{47226}{361}+361y=102$$

-\frac{214369y}{361} में 361y को जोड़ें.

$$-\frac{84048}{361}y-\frac{47226}{361}=102$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{47226}{361} जोड़ें.

$$-\frac{84048}{361}y=\frac{84048}{361}$$

समीकरण के दोनों ओर -\frac{84048}{361} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$y=-1$$

-1 को x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361} में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{463}{361}\left(-1\right)-\frac{102}{361}$$

-\frac{463}{361} को -1 बार गुणा करें.

$$x=\frac{463-102}{361}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर -\frac{102}{361} में \frac{463}{361} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x=1$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=1,y=-1$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{361}{361\times 361-463\times 463}&-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}\\-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}&\frac{361}{361\times 361-463\times 463}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}&\frac{463}{84048}\\\frac{463}{84048}&-\frac{361}{84048}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}\left(-102\right)+\frac{463}{84048}\times 102\\\frac{463}{84048}\left(-102\right)-\frac{361}{84048}\times 102\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=1,y=-1$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

361x और 463x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 463 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 361 से गुणा करें.

$$463\times 361x+463\times 463y=463\left(-102\right),361\times 463x+361\times 361y=361\times 102$$

सरल बनाएं.

$$167143x+214369y=-47226,167143x+130321y=36822$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 167143x+130321y=36822 में से 167143x+214369y=-47226 को घटाएं.

$$167143x-167143x+214369y-130321y=-47226-36822$$

167143x में -167143x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 167143x और -167143x को विभाजित कर दिया गया है.

$$214369y-130321y=-47226-36822$$

214369y में -130321y को जोड़ें.

$$84048y=-47226-36822$$

-47226 में -36822 को जोड़ें.

$$84048y=-84048$$

दोनों ओर 84048 से विभाजन करें.

$$y=-1$$

-1 को 463x+361y=102 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$463x+361\left(-1\right)=102$$

361 को -1 बार गुणा करें.

$$463x-361=102$$

समीकरण के दोनों ओर 361 जोड़ें.

$$463x=463$$

दोनों ओर 463 से विभाजन करें.

$$x=1$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=1,y=-1$$