{l}{30x+15y=675}{42x+20y=940} का समाधान करें

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=20$$

$$y=5$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$30x+15y=675$$

समीकरण के दोनों ओर से 15y घटाएं.

$$30x=-15y+675$$

दोनों ओर 30 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

\frac{1}{30} को -15y+675 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

अन्य समीकरण 42x+20y=940 में \frac{-y+45}{2} में से x को घटाएं.

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

42 को \frac{-y+45}{2} बार गुणा करें.

$$-21y+945+20y=940$$

-21y में 20y को जोड़ें.

$$-y+945=940$$

समीकरण के दोनों ओर से 945 घटाएं.

$$-y=-5$$

दोनों ओर -1 से विभाजन करें.

$$y=5$$

5 को x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2} में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

-\frac{1}{2} को 5 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{45}{2} में -\frac{5}{2} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x=20$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=20,y=5$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=20,y=5$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

30x और 42x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 42 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 30 से गुणा करें.

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

सरल बनाएं.

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 1260x+600y=28200 में से 1260x+630y=28350 को घटाएं.

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

1260x में -1260x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 1260x और -1260x को विभाजित कर दिया गया है.

$$630y-600y=28350-28200$$

630y में -600y को जोड़ें.

$$30y=28350-28200$$

28350 में -28200 को जोड़ें.

$$30y=150$$

दोनों ओर 30 से विभाजन करें.

$$y=5$$

5 को 42x+20y=940 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$42x+20\times 5=940$$

20 को 5 बार गुणा करें.

$$42x+100=940$$

समीकरण के दोनों ओर से 100 घटाएं.

$$42x=840$$

दोनों ओर 42 से विभाजन करें.

$$x=20$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=20,y=5$$