{l}{3x-84y=271}{504x-22y=524} का समाधान करें

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 84 y = 271 } \\ { 504 x - 22 y = 524 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=\frac{19027}{21135}\approx 0.900260232$$

$$y = -\frac{22502}{7045} = -3\frac{1367}{7045} \approx -3.194038325$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$3x-84y=271,504x-22y=524$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$3x-84y=271$$

समीकरण के दोनों ओर 84y जोड़ें.

$$3x=84y+271$$

दोनों ओर 3 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{3}\left(84y+271\right)$$

\frac{1}{3} को 84y+271 बार गुणा करें.

$$x=28y+\frac{271}{3}$$

अन्य समीकरण 504x-22y=524 में 28y+\frac{271}{3} में से x को घटाएं.

$$504\left(28y+\frac{271}{3}\right)-22y=524$$

504 को 28y+\frac{271}{3} बार गुणा करें.

$$14112y+45528-22y=524$$

14112y में -22y को जोड़ें.

$$14090y+45528=524$$

समीकरण के दोनों ओर से 45528 घटाएं.

$$14090y=-45004$$

दोनों ओर 14090 से विभाजन करें.

$$y=-\frac{22502}{7045}$$

-\frac{22502}{7045} को x=28y+\frac{271}{3} में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=28\left(-\frac{22502}{7045}\right)+\frac{271}{3}$$

28 को -\frac{22502}{7045} बार गुणा करें.

$$x=-\frac{630056}{7045}+\frac{271}{3}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{271}{3} में -\frac{630056}{7045} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x=\frac{19027}{21135}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{19027}{21135},y=-\frac{22502}{7045}$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$3x-84y=271,504x-22y=524$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}3&-84\\504&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}271\\524\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-84\\504&-22\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-84\\504&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-84\\504&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-84\\504&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}271\\524\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-84\\504&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}271\\524\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-84\\504&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}271\\524\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{3\left(-22\right)-\left(-84\times 504\right)}&-\frac{-84}{3\left(-22\right)-\left(-84\times 504\right)}\\-\frac{504}{3\left(-22\right)-\left(-84\times 504\right)}&\frac{3}{3\left(-22\right)-\left(-84\times 504\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}271\\524\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{21135}&\frac{14}{7045}\\-\frac{84}{7045}&\frac{1}{14090}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}271\\524\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{21135}\times 271+\frac{14}{7045}\times 524\\-\frac{84}{7045}\times 271+\frac{1}{14090}\times 524\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19027}{21135}\\-\frac{22502}{7045}\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=\frac{19027}{21135},y=-\frac{22502}{7045}$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$3x-84y=271,504x-22y=524$$

3x और 504x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 504 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 3 से गुणा करें.

$$504\times 3x+504\left(-84\right)y=504\times 271,3\times 504x+3\left(-22\right)y=3\times 524$$

सरल बनाएं.

$$1512x-42336y=136584,1512x-66y=1572$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 1512x-66y=1572 में से 1512x-42336y=136584 को घटाएं.

$$1512x-1512x-42336y+66y=136584-1572$$

1512x में -1512x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 1512x और -1512x को विभाजित कर दिया गया है.

$$-42336y+66y=136584-1572$$

-42336y में 66y को जोड़ें.

$$-42270y=136584-1572$$

136584 में -1572 को जोड़ें.

$$-42270y=135012$$

दोनों ओर -42270 से विभाजन करें.

$$y=-\frac{22502}{7045}$$

-\frac{22502}{7045} को 504x-22y=524 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$504x-22\left(-\frac{22502}{7045}\right)=524$$

-22 को -\frac{22502}{7045} बार गुणा करें.

$$504x+\frac{495044}{7045}=524$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{495044}{7045} घटाएं.

$$504x=\frac{3196536}{7045}$$

दोनों ओर 504 से विभाजन करें.

$$x=\frac{19027}{21135}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{19027}{21135},y=-\frac{22502}{7045}$$