{l}{3x+2y=16k}{5x-4y=-10k} का समाधान करें

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 16 k } \\ { 5 x - 4 y = - 10 k } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=2k$$

$$y=5k$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$3x+2y=16k$$

समीकरण के दोनों ओर से 2y घटाएं.

$$3x=-2y+16k$$

दोनों ओर 3 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+16k\right)$$

\frac{1}{3} को -2y+16k बार गुणा करें.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}$$

अन्य समीकरण 5x-4y=-10k में \frac{-2y+16k}{3} में से x को घटाएं.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}\right)-4y=-10k$$

5 को \frac{-2y+16k}{3} बार गुणा करें.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{80k}{3}-4y=-10k$$

-\frac{10y}{3} में -4y को जोड़ें.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{80k}{3}=-10k$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{80k}{3} घटाएं.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{110k}{3}$$

समीकरण के दोनों ओर -\frac{22}{3} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$y=5k$$

5k को x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3} में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{2}{3}\times 5k+\frac{16k}{3}$$

-\frac{2}{3} को 5k बार गुणा करें.

$$x=\frac{-10k+16k}{3}$$

\frac{16k}{3} में -\frac{10k}{3} को जोड़ें.

$$x=2k$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=2k,y=5k$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 16k+\frac{1}{11}\left(-10k\right)\\\frac{5}{22}\times 16k-\frac{3}{22}\left(-10k\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2k\\5k\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=2k,y=5k$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

3x और 5x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 5 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 3 से गुणा करें.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 16k,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\left(-10k\right)$$

सरल बनाएं.

$$15x+10y=80k,15x-12y=-30k$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 15x-12y=-30k में से 15x+10y=80k को घटाएं.

$$15x-15x+10y+12y=80k+30k$$

15x में -15x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 15x और -15x को विभाजित कर दिया गया है.

$$10y+12y=80k+30k$$

10y में 12y को जोड़ें.

$$22y=80k+30k$$

80k में 30k को जोड़ें.

$$22y=110k$$

दोनों ओर 22 से विभाजन करें.

$$y=5k$$

5k को 5x-4y=-10k में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$5x-4\times 5k=-10k$$

-4 को 5k बार गुणा करें.

$$5x-20k=-10k$$

समीकरण के दोनों ओर 20k जोड़ें.

$$5x=10k$$

दोनों ओर 5 से विभाजन करें.

$$x=2k$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=2k,y=5k$$