{l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)} का समाधान करें

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=1$$

$$y=-1$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. 5x-2 से 3 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

2y+3 से -7 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 प्राप्त करने के लिए 21 में से -6 घटाएं.

$$15x-27-14y=2$$

दोनों ओर 27 जोड़ें.

$$15x-14y=2+27$$

29 को प्राप्त करने के लिए 2 और 27 को जोड़ें.

$$15x-14y=29$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. 3x-y से 2 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

4-9x से 3 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$6x-2y-23=12-27x$$

दोनों ओर 27x जोड़ें.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x प्राप्त करने के लिए 6x और 27x संयोजित करें.

$$33x-2y-23=12$$

दोनों ओर 23 जोड़ें.

$$33x-2y=12+23$$

35 को प्राप्त करने के लिए 12 और 23 को जोड़ें.

$$33x-2y=35$$

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$15x-14y=29$$

समीकरण के दोनों ओर 14y जोड़ें.

$$15x=14y+29$$

दोनों ओर 15 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

\frac{1}{15} को 14y+29 बार गुणा करें.

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

अन्य समीकरण 33x-2y=35 में \frac{14y+29}{15} में से x को घटाएं.

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

33 को \frac{14y+29}{15} बार गुणा करें.

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

\frac{154y}{5} में -2y को जोड़ें.

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{319}{5} घटाएं.

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{144}{5} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$y=-1$$

-1 को x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15} में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

\frac{14}{15} को -1 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{29}{15} में -\frac{14}{15} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x=1$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=1,y=-1$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. 5x-2 से 3 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

2y+3 से -7 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 प्राप्त करने के लिए 21 में से -6 घटाएं.

$$15x-27-14y=2$$

दोनों ओर 27 जोड़ें.

$$15x-14y=2+27$$

29 को प्राप्त करने के लिए 2 और 27 को जोड़ें.

$$15x-14y=29$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. 3x-y से 2 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

4-9x से 3 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$6x-2y-23=12-27x$$

दोनों ओर 27x जोड़ें.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x प्राप्त करने के लिए 6x और 27x संयोजित करें.

$$33x-2y-23=12$$

दोनों ओर 23 जोड़ें.

$$33x-2y=12+23$$

35 को प्राप्त करने के लिए 12 और 23 को जोड़ें.

$$33x-2y=35$$

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=1,y=-1$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. 5x-2 से 3 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

2y+3 से -7 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 प्राप्त करने के लिए 21 में से -6 घटाएं.

$$15x-27-14y=2$$

दोनों ओर 27 जोड़ें.

$$15x-14y=2+27$$

29 को प्राप्त करने के लिए 2 और 27 को जोड़ें.

$$15x-14y=29$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. 3x-y से 2 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

4-9x से 3 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$6x-2y-23=12-27x$$

दोनों ओर 27x जोड़ें.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x प्राप्त करने के लिए 6x और 27x संयोजित करें.

$$33x-2y-23=12$$

दोनों ओर 23 जोड़ें.

$$33x-2y=12+23$$

35 को प्राप्त करने के लिए 12 और 23 को जोड़ें.

$$33x-2y=35$$

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

15x और 33x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 33 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 15 से गुणा करें.

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

सरल बनाएं.

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 495x-30y=525 में से 495x-462y=957 को घटाएं.

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

495x में -495x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 495x और -495x को विभाजित कर दिया गया है.

$$-462y+30y=957-525$$

-462y में 30y को जोड़ें.

$$-432y=957-525$$

957 में -525 को जोड़ें.

$$-432y=432$$

दोनों ओर -432 से विभाजन करें.

$$y=-1$$

-1 को 33x-2y=35 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

-2 को -1 बार गुणा करें.

$$33x+2=35$$

समीकरण के दोनों ओर से 2 घटाएं.

$$33x=33$$

दोनों ओर 33 से विभाजन करें.

$$x=1$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=1,y=-1$$