{l}{25x+35y=16500}{x+y=500} का समाधान करें

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 35 y = 16500 } \\ { x + y = 500 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=100$$

$$y=400$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$25x+35y=16500$$

समीकरण के दोनों ओर से 35y घटाएं.

$$25x=-35y+16500$$

दोनों ओर 25 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{25}\left(-35y+16500\right)$$

\frac{1}{25} को -35y+16500 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{7}{5}y+660$$

अन्य समीकरण x+y=500 में -\frac{7y}{5}+660 में से x को घटाएं.

$$-\frac{7}{5}y+660+y=500$$

-\frac{7y}{5} में y को जोड़ें.

$$-\frac{2}{5}y+660=500$$

समीकरण के दोनों ओर से 660 घटाएं.

$$-\frac{2}{5}y=-160$$

समीकरण के दोनों ओर -\frac{2}{5} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$y=400$$

400 को x=-\frac{7}{5}y+660 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{7}{5}\times 400+660$$

-\frac{7}{5} को 400 बार गुणा करें.

$$x=-560+660$$

660 में -560 को जोड़ें.

$$x=100$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=100,y=400$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-35}&-\frac{35}{25-35}\\-\frac{1}{25-35}&\frac{25}{25-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{10}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 16500+\frac{7}{2}\times 500\\\frac{1}{10}\times 16500-\frac{5}{2}\times 500\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\400\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=100,y=400$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

25x और x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 1 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 25 से गुणा करें.

$$25x+35y=16500,25x+25y=25\times 500$$

सरल बनाएं.

$$25x+35y=16500,25x+25y=12500$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 25x+25y=12500 में से 25x+35y=16500 को घटाएं.

$$25x-25x+35y-25y=16500-12500$$

25x में -25x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 25x और -25x को विभाजित कर दिया गया है.

$$35y-25y=16500-12500$$

35y में -25y को जोड़ें.

$$10y=16500-12500$$

16500 में -12500 को जोड़ें.

$$10y=4000$$

दोनों ओर 10 से विभाजन करें.

$$y=400$$

400 को x+y=500 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x+400=500$$

समीकरण के दोनों ओर से 400 घटाएं.

$$x=100$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=100,y=400$$