{l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640} का समाधान करें

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$2x+4y=2060$$

समीकरण के दोनों ओर से 4y घटाएं.

$$2x=-4y+2060$$

दोनों ओर 2 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

\frac{1}{2} को -4y+2060 बार गुणा करें.

$$x=-2y+1030$$

अन्य समीकरण 5x+7y=1640 में -2y+1030 में से x को घटाएं.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

5 को -2y+1030 बार गुणा करें.

$$-10y+5150+7y=1640$$

-10y में 7y को जोड़ें.

$$-3y+5150=1640$$

समीकरण के दोनों ओर से 5150 घटाएं.

$$-3y=-3510$$

दोनों ओर -3 से विभाजन करें.

$$y=1170$$

1170 को x=-2y+1030 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-2\times 1170+1030$$

-2 को 1170 बार गुणा करें.

$$x=-2340+1030$$

1030 में -2340 को जोड़ें.

$$x=-1310$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=-1310,y=1170$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स के लिए \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), प्रतिलोम मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है, ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=-1310,y=1170$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

2x और 5x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 5 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 2 से गुणा करें.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

सरल बनाएं.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 10x+14y=3280 में से 10x+20y=10300 को घटाएं.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

10x में -10x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 10x और -10x को विभाजित कर दिया गया है.

$$20y-14y=10300-3280$$

20y में -14y को जोड़ें.

$$6y=10300-3280$$

10300 में -3280 को जोड़ें.

$$6y=7020$$

दोनों ओर 6 से विभाजन करें.

$$y=1170$$

1170 को 5x+7y=1640 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$5x+7\times 1170=1640$$

7 को 1170 बार गुणा करें.

$$5x+8190=1640$$

समीकरण के दोनों ओर से 8190 घटाएं.

$$5x=-6550$$

दोनों ओर 5 से विभाजन करें.

$$x=-1310$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=-1310,y=1170$$