{l}{10x+5y=170}{6x+10y=200} का समाधान करें

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 170 } \\ { 6 x + 10 y = 200 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=10$$

$$y=14$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$10x+5y=170$$

समीकरण के दोनों ओर से 5y घटाएं.

$$10x=-5y+170$$

दोनों ओर 10 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+170\right)$$

\frac{1}{10} को -5y+170 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{1}{2}y+17$$

अन्य समीकरण 6x+10y=200 में -\frac{y}{2}+17 में से x को घटाएं.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+17\right)+10y=200$$

6 को -\frac{y}{2}+17 बार गुणा करें.

$$-3y+102+10y=200$$

-3y में 10y को जोड़ें.

$$7y+102=200$$

समीकरण के दोनों ओर से 102 घटाएं.

$$7y=98$$

दोनों ओर 7 से विभाजन करें.

$$y=14$$

14 को x=-\frac{1}{2}y+17 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{1}{2}\times 14+17$$

-\frac{1}{2} को 14 बार गुणा करें.

$$x=-7+17$$

17 में -7 को जोड़ें.

$$x=10$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=10,y=14$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10\times 10-5\times 6}&-\frac{5}{10\times 10-5\times 6}\\-\frac{6}{10\times 10-5\times 6}&\frac{10}{10\times 10-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{3}{35}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 170-\frac{1}{14}\times 200\\-\frac{3}{35}\times 170+\frac{1}{7}\times 200\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=10,y=14$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

10x और 6x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 6 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 10 से गुणा करें.

$$6\times 10x+6\times 5y=6\times 170,10\times 6x+10\times 10y=10\times 200$$

सरल बनाएं.

$$60x+30y=1020,60x+100y=2000$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 60x+100y=2000 में से 60x+30y=1020 को घटाएं.

$$60x-60x+30y-100y=1020-2000$$

60x में -60x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 60x और -60x को विभाजित कर दिया गया है.

$$30y-100y=1020-2000$$

30y में -100y को जोड़ें.

$$-70y=1020-2000$$

1020 में -2000 को जोड़ें.

$$-70y=-980$$

दोनों ओर -70 से विभाजन करें.

$$y=14$$

14 को 6x+10y=200 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$6x+10\times 14=200$$

10 को 14 बार गुणा करें.

$$6x+140=200$$

समीकरण के दोनों ओर से 140 घटाएं.

$$6x=60$$

दोनों ओर 6 से विभाजन करें.

$$x=10$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=10,y=14$$