{l}{x^2/4+y^2/3=1}{y=k(x+1)} का समाधान करें

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \\ { y = k ( x + 1 ) } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

स्थानापन्न और द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों ओर 12 से गुणा करें, जो कि 4,3 का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$3x^{2}+4y^{2}=12$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. x+1 से k गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$y=kx+k$$

अन्य समीकरण 3x^{2}+4y^{2}=12 में kx+k में से y को घटाएं.

$$3x^{2}+4\left(kx+k\right)^{2}=12$$

वर्गमूल kx+k.

$$3x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}\right)=12$$

4 को k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2} बार गुणा करें.

$$3x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

3x^{2} में 4k^{2}x^{2} को जोड़ें.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

समीकरण के दोनों ओर से 12 घटाएं.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}-12=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न 3+4k^{2}, b के लिए 4\times 2kk और द्विघात सूत्र में c के लिए 4k^{2}-12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{\left(8k^{2}\right)^{2}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

वर्गमूल 4\times 2kk.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

-4 को 3+4k^{2} बार गुणा करें.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+\left(-16k^{2}-12\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

-12-16k^{2} को 4k^{2}-12 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+144+144k^{2}-64k^{4}}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

64k^{4} में 144+144k^{2}-64k^{4} को जोड़ें.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{144k^{2}+144}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

144k^{2}+144 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

2 को 3+4k^{2} बार गुणा करें.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} को हल करें. -8k^{2} में 12\sqrt{k^{2}+1} को जोड़ें.

$$x=\frac{-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

6+8k^{2} को -8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1} से विभाजित करें.

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} को हल करें. -8k^{2} में से 12\sqrt{k^{2}+1} को घटाएं.

$$x=\frac{-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

6+8k^{2} को -8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1} से विभाजित करें.

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x के लिए दोनों हल समान हैं: \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} और -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}}. y के लिए संगत हल ढूंढने के लिए समीकरण y=kx+k में x से \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} को घटाएं, जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है.

$$y=k\times \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}+k$$

k को \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} बार गुणा करें.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k$$

अब y=kx+k समीकरण में -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} में से x को घटाएं और y के लिए संगत हल ढूंढने के लिए हल करें जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता हो.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)+k$$

k को -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} बार गुणा करें.

$$y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k,x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k,x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x, y के लिए हल करें (जटिल समाधान)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{; }x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{3}i}{2}\\x=\frac{3-k^{2}}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{k^{2}+3}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{3}i}{2}\end{matrix}\right.$$