{l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1} का समाधान करें

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. चर y, -5,0 मानों में से किसी के भी बराबर नहीं हो सकता क्योंकि शून्य से विभाजन निर्धारित नहीं है. समीकरण के दोनों ओर y\left(y+5\right) से गुणा करें, जो कि y+5,y का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+2 से y गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+7 से y+5 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

दोनों ओर से yx घटाएँ.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 प्राप्त करने के लिए yx और -yx संयोजित करें.

$$2y=7y+5x+35$$

दोनों ओर से 7y घटाएँ.

$$2y-7y=5x+35$$

-5y प्राप्त करने के लिए 2y और -7y संयोजित करें.

$$-5y=5x+35$$

दोनों ओर -5 से विभाजन करें.

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

-\frac{1}{5} को 35+5x बार गुणा करें.

$$y=-x-7$$

अन्य समीकरण -4y+2x=-1 में -x-7 में से y को घटाएं.

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

-4 को -x-7 बार गुणा करें.

$$4x+28+2x=-1$$

4x में 2x को जोड़ें.

$$6x+28=-1$$

समीकरण के दोनों ओर से 28 घटाएं.

$$6x=-29$$

दोनों ओर 6 से विभाजन करें.

$$x=-\frac{29}{6}$$

-\frac{29}{6} को y=-x-7 में x के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे y के लिए हल कर सकते हैं.

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

-1 को -\frac{29}{6} बार गुणा करें.

$$y=\frac{29}{6}-7$$

-7 में \frac{29}{6} को जोड़ें.

$$y=-\frac{13}{6}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. चर y, -5,0 मानों में से किसी के भी बराबर नहीं हो सकता क्योंकि शून्य से विभाजन निर्धारित नहीं है. समीकरण के दोनों ओर y\left(y+5\right) से गुणा करें, जो कि y+5,y का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+2 से y गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+7 से y+5 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

दोनों ओर से yx घटाएँ.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 प्राप्त करने के लिए yx और -yx संयोजित करें.

$$2y=7y+5x+35$$

दोनों ओर से 7y घटाएँ.

$$2y-7y=5x+35$$

-5y प्राप्त करने के लिए 2y और -7y संयोजित करें.

$$-5y=5x+35$$

दोनों ओर से 5x घटाएँ.

$$-5y-5x=35$$

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों y और x को निकालना.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. चर y, -5,0 मानों में से किसी के भी बराबर नहीं हो सकता क्योंकि शून्य से विभाजन निर्धारित नहीं है. समीकरण के दोनों ओर y\left(y+5\right) से गुणा करें, जो कि y+5,y का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+2 से y गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+7 से y+5 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

दोनों ओर से yx घटाएँ.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 प्राप्त करने के लिए yx और -yx संयोजित करें.

$$2y=7y+5x+35$$

दोनों ओर से 7y घटाएँ.

$$2y-7y=5x+35$$

-5y प्राप्त करने के लिए 2y और -7y संयोजित करें.

$$-5y=5x+35$$

दोनों ओर से 5x घटाएँ.

$$-5y-5x=35$$

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

-5y और -4y को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को -4 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को -5 से गुणा करें.

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

सरल बनाएं.

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 20y-10x=5 में से 20y+20x=-140 को घटाएं.

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

20y में -20y को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 20y और -20y को विभाजित कर दिया गया है.

$$20x+10x=-140-5$$

20x में 10x को जोड़ें.

$$30x=-140-5$$

-140 में -5 को जोड़ें.

$$30x=-145$$

दोनों ओर 30 से विभाजन करें.

$$x=-\frac{29}{6}$$

-\frac{29}{6} को -4y+2x=-1 में x के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे y के लिए हल कर सकते हैं.

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

2 को -\frac{29}{6} बार गुणा करें.

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{29}{3} जोड़ें.

$$-4y=\frac{26}{3}$$

दोनों ओर -4 से विभाजन करें.

$$y=-\frac{13}{6}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$