{l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21} का समाधान करें

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

x, y के लिए हल करें

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

स्थानापन्न उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों ओर 40 से गुणा करें, जो कि 4,10,8 का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 प्राप्त करने के लिए 10 और 5 का गुणा करें.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x-3 से 50 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 प्राप्त करने के लिए -4 और 3 का गुणा करें.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

2y+1 से -12 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162 प्राप्त करने के लिए 12 में से -150 घटाएं.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x+y+1 से -7 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3 प्राप्त करने के लिए 7 में से 4 घटाएं.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

-3-7x-7y से 5 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

दोनों ओर 35x जोड़ें.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

85x प्राप्त करने के लिए 50x और 35x संयोजित करें.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

दोनों ओर 35y जोड़ें.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

11y प्राप्त करने के लिए -24y और 35y संयोजित करें.

$$85x-162+11y=-15$$

दोनों ओर 162 जोड़ें.

$$85x+11y=-15+162$$

147 को प्राप्त करने के लिए -15 और 162 को जोड़ें.

$$85x+11y=147$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. 2y-7 से -5 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$6x-10y+35=21$$

दोनों ओर से 35 घटाएँ.

$$6x-10y=21-35$$

-14 प्राप्त करने के लिए 35 में से 21 घटाएं.

$$6x-10y=-14$$

प्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, सबसे पहले चरों में से एक के लिए समीकरणों में से किसी एक को हल करें. फिर उस चर के परिणाम को अन्य समीकरण में से प्रतिस्थापित करें.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

समीकरणों में से कोई एक चुनें और इसे बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर x से पृथक् करके x से हल करें.

$$85x+11y=147$$

समीकरण के दोनों ओर से 11y घटाएं.

$$85x=-11y+147$$

दोनों ओर 85 से विभाजन करें.

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

\frac{1}{85} को -11y+147 बार गुणा करें.

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

अन्य समीकरण 6x-10y=-14 में \frac{-11y+147}{85} में से x को घटाएं.

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

6 को \frac{-11y+147}{85} बार गुणा करें.

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

-\frac{66y}{85} में -10y को जोड़ें.

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

समीकरण के दोनों ओर से \frac{882}{85} घटाएं.

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

समीकरण के दोनों ओर -\frac{916}{85} से विभाजित करें, जो भिन्न के व्युत्क्रमणों का दोनों ओर गुणा करने के समान है.

$$y=\frac{518}{229}$$

\frac{518}{229} को x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85} में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

अंश के बार अंश से और हर के बराबर हर से गुणा करके -\frac{11}{85} का \frac{518}{229} बार गुणा करें. फिर यदि संभव हो तो भिन्न को न्यूनतम पदों तक कम करें.

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

सामान्य हरों का पता लगाकर और अंशों को जोड़कर \frac{147}{85} में -\frac{5698}{19465} जोड़ें. फिर यदि संभव हो तो न्यूनतम पद के भिन्न को कम करें.

$$x=\frac{329}{229}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

मैट्रिक्स का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों ओर 40 से गुणा करें, जो कि 4,10,8 का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 प्राप्त करने के लिए 10 और 5 का गुणा करें.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x-3 से 50 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 प्राप्त करने के लिए -4 और 3 का गुणा करें.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

2y+1 से -12 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162 प्राप्त करने के लिए 12 में से -150 घटाएं.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x+y+1 से -7 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3 प्राप्त करने के लिए 7 में से 4 घटाएं.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

-3-7x-7y से 5 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

दोनों ओर 35x जोड़ें.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

85x प्राप्त करने के लिए 50x और 35x संयोजित करें.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

दोनों ओर 35y जोड़ें.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

11y प्राप्त करने के लिए -24y और 35y संयोजित करें.

$$85x-162+11y=-15$$

दोनों ओर 162 जोड़ें.

$$85x+11y=-15+162$$

147 को प्राप्त करने के लिए -15 और 162 को जोड़ें.

$$85x+11y=147$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. 2y-7 से -5 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$6x-10y+35=21$$

दोनों ओर से 35 घटाएँ.

$$6x-10y=21-35$$

-14 प्राप्त करने के लिए 35 में से 21 घटाएं.

$$6x-10y=-14$$

समीकरण को मानक रूप में रखें और फिर समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें.

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right) के प्रतिलोम मैट्रिक्स से समीकरण के बाईं ओर गुणा करें.

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

किसी मैट्रिक्स का गुणनफल और इसका प्रतिलोम पहचान मैट्रिक्स है.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

बराबर चिह्न के बाएँ हाथ की ओर के मैट्रिक्स की गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) के लिए, इनवर्स मैट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) है ताकि मैट्रिक्स समीकरण को मैट्रिक्स गुणन समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सके.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स का गुणा करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

मैट्रिक्स तत्वों x और y को निकालना.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

विलोपन का उपयोग करने के चरण

पहली समीकरण पर विचार करें. समीकरण के दोनों ओर 40 से गुणा करें, जो कि 4,10,8 का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 प्राप्त करने के लिए 10 और 5 का गुणा करें.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x-3 से 50 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 प्राप्त करने के लिए -4 और 3 का गुणा करें.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

2y+1 से -12 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162 प्राप्त करने के लिए 12 में से -150 घटाएं.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x+y+1 से -7 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3 प्राप्त करने के लिए 7 में से 4 घटाएं.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

-3-7x-7y से 5 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

दोनों ओर 35x जोड़ें.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

85x प्राप्त करने के लिए 50x और 35x संयोजित करें.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

दोनों ओर 35y जोड़ें.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

11y प्राप्त करने के लिए -24y और 35y संयोजित करें.

$$85x-162+11y=-15$$

दोनों ओर 162 जोड़ें.

$$85x+11y=-15+162$$

147 को प्राप्त करने के लिए -15 और 162 को जोड़ें.

$$85x+11y=147$$

दूसरी समीकरण पर विचार करें. 2y-7 से -5 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$6x-10y+35=21$$

दोनों ओर से 35 घटाएँ.

$$6x-10y=21-35$$

-14 प्राप्त करने के लिए 35 में से 21 घटाएं.

$$6x-10y=-14$$

घटाकर समाधान करने के लिए, दोनों समीकरणों में चरों में से किसी एक का गुणांक समान होना चाहिए ताकि जब एक समीकरण को दूसरे में से घटाया जाए, तो चर को रद्द किया जा सके.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

85x और 6x को बराबर करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों ओर के सभी पदों को 6 से और दूसरे दोनों ओर के सभी पदों को 85 से गुणा करें.

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

सरल बनाएं.

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

बराबर चिह्न के दोनों ओर समान पदों को घटाकर 510x-850y=-1190 में से 510x+66y=882 को घटाएं.

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

510x में -510x को जोड़ें. केवल एक चर वाले समीकरण जिसका हल किया जा सकता है उसे छोड़कर पद 510x और -510x को विभाजित कर दिया गया है.

$$66y+850y=882+1190$$

66y में 850y को जोड़ें.

$$916y=882+1190$$

882 में 1190 को जोड़ें.

$$916y=2072$$

दोनों ओर 916 से विभाजन करें.

$$y=\frac{518}{229}$$

\frac{518}{229} को 6x-10y=-14 में y के लिए प्रतिस्थापित करें. चूंकि परिणामी समीकरण में केवल एक चर शामिल है, आप सीधे x के लिए हल कर सकते हैं.

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

-10 को \frac{518}{229} बार गुणा करें.

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{5180}{229} जोड़ें.

$$6x=\frac{1974}{229}$$

दोनों ओर 6 से विभाजन करें.

$$x=\frac{329}{229}$$

अब सिस्टम का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$