lambda^3-27lambda^2+243lambda-729=0 का समाधान करें

$$\lambda ^ { 3 } - 27 \lambda ^ { 2 } + 243 \lambda - 729 = 0$$

λ के लिए हल करें

$$\lambda =9$$

हल करने वाले चरण

तर्कसंगत रूट प्रमेय के द्वारा, बहुपद की सभी तर्कसंगत जड़ें \frac{p}{q} रूप में हैं, जहाँ p निरंतर शब्द -729 को विभाजित करती है और q अग्रणी गुणांक 1 को विभाजित करती है. \frac{p}{q} सभी उंमीदवारों की सूची.

$$±729,±243,±81,±27,±9,±3,±1$$

निरपेक्ष मान के द्वारा छोटे से प्रारंभ करके, सभी पूर्णांक मानों को आज़माकर एक जैसे रूट ढूँढें. यदि कोई पूर्णांक जड़ें नहीं मिलती हैं, तो भिन्नों को आज़माएँ.

$$\lambda =9$$

फ़ैक्टर प्रमेय के द्वारा, \lambda -k प्रत्येक रूट k के लिए बहुपद का एक फ़ैक्टर है. \lambda ^{2}-18\lambda +81 प्राप्त करने के लिए \lambda ^{3}-27\lambda ^{2}+243\lambda -729 को \lambda -9 से विभाजित करें. समीकरण को हल करें जहाँ परिणाम 0 के बराबर हो.

$$\lambda ^{2}-18\lambda +81=0$$

प्रपत्र ax^{2}+bx+c=0 के सभी समीकरणों को \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है. द्विघात सूत्र में a के लिए 1, b के लिए -18, और c के लिए 81 प्रतिस्थापित करें.

$$\lambda =\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 1\times 81}}{2}$$

परिकलन करें.

$$\lambda =\frac{18±0}{2}$$

हल समान होते हैं.

$$\lambda =9$$