2/x+15/x+6=1 का समाधान करें

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

x के लिए हल करें

$$x=-1$$

$$x=12$$

समूहीकरण द्वारा फ़ैक्टरिंग का उपयोग करने के चरण

चर x, -6,0 मानों में से किसी के भी बराबर नहीं हो सकता क्योंकि शून्य से विभाजन निर्धारित नहीं है. समीकरण के दोनों ओर x\left(x+6\right) से गुणा करें, जो कि x,x+6 का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

2 से x+6 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

17x प्राप्त करने के लिए 2x और x\times 15 संयोजित करें.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

x+6 से x गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

दोनों ओर से x^{2} घटाएँ.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

दोनों ओर से 6x घटाएँ.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

11x प्राप्त करने के लिए 17x और -6x संयोजित करें.

$$11x+12-x^{2}=0$$

बहुपद को मानक रूप में रखने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करें. टर्म को उच्चतम से निम्नतम घात के क्रम में रखें.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

समीकरण को हल करने के लिए, बाएँ हाथ की ओर समूहीकृत करके फ़ैक्टर करें. सबसे पहले, बाएँ हाथ की ओर -x^{2}+ax+bx+12 के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए. a और b ढूँढने के लिए, हल करने के लिए एक सिस्टम सेट करें.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

चूँकि ab नकारात्मक है, a और b में विपरीत संकेत हैं. चूँकि a+b धनात्मक है, धनात्मक संख्या में ऋणात्मक से अधिक निरपेक्ष मान है. ऐसे सभी जोड़े सूचीबद्ध करें, जो उत्पाद -12 देते हैं.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

प्रत्येक जोड़ी के लिए योग की गणना करें.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

हल वह जोड़ी है जो 11 योग देती है.

$$a=12 b=-1$$

-x^{2}+11x+12 को \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right) के रूप में फिर से लिखें.

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

पहले समूह में -x के और दूसरे समूह में -1 को गुणनखंड बनाएँ.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

विभाजन के गुण का उपयोग करके सामान्य पद x-12 के गुणनखंड बनाएँ.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

समीकरण समाधानों को ढूँढने के लिए, x-12=0 और -x-1=0 को हल करें.

$$x=12 x=-1$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

चर x, -6,0 मानों में से किसी के भी बराबर नहीं हो सकता क्योंकि शून्य से विभाजन निर्धारित नहीं है. समीकरण के दोनों ओर x\left(x+6\right) से गुणा करें, जो कि x,x+6 का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

2 से x+6 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

17x प्राप्त करने के लिए 2x और x\times 15 संयोजित करें.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

x+6 से x गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

दोनों ओर से x^{2} घटाएँ.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

दोनों ओर से 6x घटाएँ.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

11x प्राप्त करने के लिए 17x और -6x संयोजित करें.

$$11x+12-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न -1, b के लिए 11 और द्विघात सूत्र में c के लिए 12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

वर्गमूल 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

-4 को -1 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

4 को 12 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

121 में 48 को जोड़ें.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

169 का वर्गमूल लें.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

2 को -1 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-11±13}{-2} को हल करें. -11 में 13 को जोड़ें.

$$x=\frac{2}{-2}$$

-2 को 2 से विभाजित करें.

$$x=-1$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-11±13}{-2} को हल करें. -11 में से 13 को घटाएं.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

-2 को -24 से विभाजित करें.

$$x=12$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=-1 x=12$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

चर x, -6,0 मानों में से किसी के भी बराबर नहीं हो सकता क्योंकि शून्य से विभाजन निर्धारित नहीं है. समीकरण के दोनों ओर x\left(x+6\right) से गुणा करें, जो कि x,x+6 का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

2 से x+6 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

17x प्राप्त करने के लिए 2x और x\times 15 संयोजित करें.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

x+6 से x गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

दोनों ओर से x^{2} घटाएँ.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

दोनों ओर से 6x घटाएँ.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

11x प्राप्त करने के लिए 17x और -6x संयोजित करें.

$$11x+12-x^{2}=0$$

दोनों ओर से 12 घटाएँ. शून्य में से कुछ भी घटाने पर इसका ऋणात्मक मान प्राप्त होता है.

$$11x-x^{2}=-12$$

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$-x^{2}+11x=-12$$

दोनों ओर -1 से विभाजन करें.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

-1 से विभाजित करना -1 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

-1 को 11 से विभाजित करें.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

-1 को -12 से विभाजित करें.

$$x^{2}-11x=12$$

-\frac{11}{2} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -11 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{11}{2} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{11}{2} का वर्ग करें.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

12 में \frac{121}{4} को जोड़ें.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

गुणक x^{2}-11x+\frac{121}{4}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

सरल बनाएं.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{11}{2} जोड़ें.

$$x=12 x=-1$$